Encontrar un límite convergiendo en$\ln(x)$

Question

Como la conocemos, $\int\dfrac{1}{x}dx = \ln (x) + c$

Además,$\int x^a dx = \dfrac{x^{a+1}}{a+1} + c$ para cualquier$a \neq -1$

Pero desde$x^{-1} = \dfrac{1}{x}$, sospeché que$\ln x = \int\dfrac{1}{x}dx = \int x^{-1} dx = \lim_{a\to -1} \dfrac{x^{a+1}}{a+1}$

Sin embargo, esto es falso, pero luego me di cuenta de que esto está muy cerca de la igualdad real$\ln x = \lim_{a\to 0} \dfrac{x^a - 1}{a}$

Pero no logro entender de dónde viene este$-1$. Sé que lo que hice fue todo menos riguroso, pero ¿hay alguna forma de lograr esta igualdad con un método similar al que hice?

¡Gracias por leer!

Answer 1

Probablemente sea mejor pensar en $$ \ ln x = \ int_ {1} ^ {x} \ frac {1} {t} \, dt $$ Dado que, para$a\ne -1$, $$ \ int_ {1} ^ {x} t ^ a \, dt = \ frac {x ^ {a +1} -1} {a +1} $$ podemos conjeturar que $$ \ lim_ {a \ to-1} \ frac {x ^ {a +1} -1} {a +1} = \ ln x $$ que es cierto, porque esta es la derivada en$-1$ de la función $$ f (a) = x ^ {a +1} $$ y $$ f '(a) = x ^ {a +1} \ ln x $$

Cuando se trata de "integrales indefinidas" es común obtener conclusiones erróneas, debido a la constante integración.

Answer 2

Tenga en cuenta que: $\ln x=\int \frac1x\,dx=\int x^{-1}\,dx=\lim_{a\to -1} \dfrac{x^{a+1}}{a+1}\color{BLUE}{+c}$

Al establecer$c=\lim_{a\to-1}-\frac1{a+1}$ obtenemos el valor correcto

Answer 3

Tenga en cuenta que la derivada de$\frac{x^a-1}a$ es$x^{a-1}$, por lo que$\frac{x^a-1}a$ es una anti-derivada válida de$x^{a-1}$. De hecho,$\frac{x^a-1}a=\frac{x^a}a+C$, donde$C=-\frac1a$.

Por lo tanto, es razonable esperar que $$ \ log (x) = \ lim_ {a \ to0} \ frac {x ^ a-1} a $$ sea una antiderivada de$x^{-1}$.