Resolver más de enteros $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y} = 3$

Question

Estoy tratando de solucionar $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y} = 3$ más de enteros, pero no tengo idea de cuál es la mejor manera de hacerlo. He intentado multiplicar ambos lados por $xyz$ y, a continuación, averiguar que $z$ divide $xy$, $x$ divide $yz$, etc, pero sin efecto.

Answer 1

Parece que no hay no trivial (es decir, no $x,y,z = \pm 1$) soluciones: lo sentimos, no hay número de la teoría a hacer aquí. (Sólo algunos análisis). Dividiendo todo por $xyz$ pone la ecuación en una agradable forma:

$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} = \frac{3}{xyz}$.

Mirando fijamente por un momento, parece que el lado izquierdo es siempre mayor que el lado derecho, y esto es fácil de demostrar. Supongamos WLOG $x \leq y \leq z$.

Caso 1: $x < z^{2/3}$. Entonces

$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} \geq \frac{3}{z^2} >\frac{3}{x^3} \geq \frac{3}{xyz}.$

Así que no hay soluciones con $x < z^{2/3}$.

Caso 2: $x \geq z^{2/3}$. Entonces

$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} \geq \frac{3}{z^2} > \frac{3}{z^{7/3}} \geq \frac{3}{xyz}$,

desde la estricta desigualdad $z^{-2} > z^{-7/3}$ mantiene para$z > 1.$, por Lo que no hay ninguna solución en este caso.

Answer 2

Obviamente $xyz\ne 0$.

Desde $$3xyz = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 3\sqrt[3]{x^4y^4z^4}$$ tenemos $$xyz\geq (xyz)^2\Longrightarrow 0\leq xyz\leq 1$$

Ahora desde $x,y,z\in \mathbb{Z}$ tenemos $xyz =1$. Por lo $(1,-1,-1)$ y todos los permutación son la solución como $(1,1,1)$ es.

Answer 3

su ecuación puede factorizados ot $$x^2y^2+x^2z^2+z^2x^2=3xyz$$ y, a continuación, utilizar $$(xy)^2+(xz)^2+(yz)^2\geq x^2yz+xy^2z+xyz^2$$ y podemos escribir $$3xyz\geq xyz(x+y+z)$$ puede usted proceder?