Tarea (yo admiten libremente que es de una prueba anterior):
Elegimos una persona al azar $X$ y resulta que esta persona tiene tres hermanos, con al menos una hermana mayor entre ellos.
A) ¿Cuál es la probabilidad de que $X$ es una niña?
B) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo hijo mayor de esta familiares es una niña?
C) ¿Cuál es la probabilidad de que $X$ es el hijo menor de esta familia?
D) Vamos a $A$, $B$, $C$ indicar los eventos anteriores. Que los pares son independientes: $(A, B)$, $(A, C)$, $(B, C)$? Validar cada respuesta.
Nota: se supone que, en relación con cada nacimiento, de los eventos: nace un niño y una niña que nace tiene la misma probabilidad de $p=\frac12$ (no tomamos en cuenta la posibilidad de gemelos recien nacidos, etc), y estos eventos son independientes de cualquier ex nacimientos.
Mi intento de solución:
A) $\frac12$, a partir de la independencia de birhts.
Antes de ir a la B), C), D), hagamos una lista de todos los recursos legales posibles combinaciones:
- Si $X$ es la segunda más antigua de niño: $b/g\quad b/g\quad X_{b/g}\quad g$ da $8$ combinaciones
- Si $X$ es la tercera más antigua de niño: $b/g \quad X_{b/g}\quad b/g \quad b/g$ - esto podría ser $4\cdot 4$ combinaciones, pero debemos excluir el tráfico ilegal de combinación que dos niños mayores son todos los niños, por lo que es $4\cdot 3 = 12$ combinaciones
- Si $X$ es el hijo menor: $X_{b/g} \quad b/g \quad b/g \quad b/g$ - Excluyendo el ilegal combinación que todos los niños de mayor edad son todos chicos este nos da $2\cdot7=14$ combinaciones
Así que tenemos un total de $34$ legal combinaciones.
B) Vamos a la lista legal combinaciones:
- $b/g\quad b/g\quad X_g \quad g$ - $4$ combinaciones
- $b/g \quad X_{b/g} \quad g \quad b/g$ - $8$ combinaciones
- $X_{b/g} \quad b/g \quad g \quad b/g$ - $8$ combinaciones
Por lo tanto la probabilidad es $\frac{4+8+8}{34}=\frac{10}{17}$
C) Anteriores se demostró que hay $14$ legal combinaciones en tal caso, así que la respuesta es $\frac{14}{34}=\frac{7}{17}$
D) Y aquí hay dragones, supongo.
Esta es la forma en que me gustaría abordar este:
$(A, B)$:
Todas legal combinaciones para el caso de $A\cap B$ son:
- $b/g\quad b/g \quad X_g \quad g$ - $4$ combinaciones
- $b/g \quad X_g \quad g \quad b/g$ - $4$ combinaciones
- $X_g\quad b/g\quad g\quad b/g$ - $4$ combinaciones
$12$ combinaciones en total, por lo $P(A\cap B) = \frac {12}{34} \neq \frac12\cdot \frac{20}{34} = P(A)\cdot P(B)$, por lo que, por definición, $A$ $B$ no son independientes.
$(A,C)$: Hay $7$ legal combinaciones para el evento $A\cap C$: $X_g\quad b/g \quad b/g \quad b/g$, esta sería la $8$, pero debemos excluir la ilegal combinación de $X_g \quad b \quad b \quad b$
Por lo tanto,$P(A\cap C) = \frac7{34} = \frac12 \cdot \frac {14}{34} = P(A)\cdot P(B)$, por lo que, por definición, estos eventos son independientes
$(B, C)$: Hay $8$ legal combinaciones: $X_{b/g} \quad b/g \quad g \quad b/g$
Así que tenemos $P(B\cap C) = \frac8{34} = \frac 4{17}$ Pero $P(B)\cdot P(C) = \frac7{17}\cdot \frac{10}{17} \neq \frac 4{17}$
Así que, por definición, estos eventos no son independientes.
Mi preocupación es:
He utilizado la definición clásica de probabilidad para cada parte de la tarea. Pero solo puedo utilizar la definición clásica si la permutación de los niños en este famility es independiente de su sexo; así, essentialy, solo puedo utilizar la definición clásica si $(A, C)$ son independientes. Sin embargo, era mi tarea de probar que $A$ $C$ son realmente independientes, y he utilizado la definición clásica de probarlo... Así que, al final, no soy culpable de razonamiento circular aquí?
