"Golden Ratio" de $n$ subsegments

Question

Antecedentes:

(Omitir si usted está familiarizado)

La Proporción áurea se calcula suponiendo que un segmento de línea se divide en dos subsegments de modo que la proporción entre la totalidad del segmento y el más grande subsegmento es el mismo como el cociente entre el mayor subsegmento y el más pequeño. Así que, si todo el segmento de línea se define como unidad de longitud, con la mayor subsegmento de longitud $a$, y el de menor duración $b$ la Proporción áurea se puede calcular resolviendo este sistema de ecuaciones:

$$ a^2 - b = 0 $$ $$ a + b = 1 $$

en el que el $b$s cancelar, y (asumiendo $a>0$) nos queda:

$$ a^2 + a - 1 = 0 \implies \boxed{a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}} \implies \boxed{b =\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} $$

$$ \boxed{\phi = \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}} \approx 1.618...} $$

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Pregunta:

Estoy interesado en lo que sucede cuando el segmento se divide en a mayor número de subsegments. Por ejemplo, si el segmento se divide en tres subsegments ($a$, la más grande, $b$, el segundo más grande, y $c$ la más pequeña), si asumimos que la relación entre la totalidad del segmento y $a$ es el mismo como el cociente entre el$a$$b$, que es el mismo como el cociente entre el$b$$c$, el problema se reduce a resolver un sistema de tres ecuaciones:

$$ a^3 - c = 0 $$ $$ a^2 - b = 0 $$ $$ a + b + c = 1, $$

que se reduce a:

$$ a^3 + a^2 + a - 1 = 0. $$

Mis preguntas son estas:

1. Hay una forma inteligente de resolver el sistema de ecuaciones de una forma cerrada de la solución? Wolfram Alpha me puede dar la aproximación numérica, pero parece que luchar para encontrar la forma cerrada.

2. Uno está tentado a pensar que este patrón continuará -- es decir, que para un segmento de línea subdivide en a $n$ subsegments, la proporción será determinado por encontrar las raíces del polinomio:$$ a^n + a^{n-1} + \cdots + a - 1 = 0. $$ ¿hay alguna que no desordenado manera de probar esto (tal vez por inducción)?

3. Si las respuestas son sí (1) y (2), hay una forma cerrada de la solución de la Proporción áurea para $n$ subsegments?

Answer 1

De acuerdo a Wikipedia, la raíz entre 0 y 1 de $x^3+x^2+x-1=0$ es $$\bigl(\root3\of{17+3\sqrt{33}}-\root3\of{-17+3\sqrt{33}}-1\bigr)/3=0.543689012$$ to nine decimals. The root between 0 and 1 of $x^4+x^3+x^2+x-1=0$ is the reciprocal of $$p_1+(1/4)+\sqrt{(p_1+(1/4))^2-(2\lambda_1/p_1)(p_1+(1/4))+(7/(24p_1))+(1/6)}$$ where $p_1=\sqrt{\lambda_1+(11/48)}$ and $$\lambda_1={\root3\of{3\sqrt{1689}-65}-\root3\of{3\sqrt{1689}+65}\over12\root3\of2}$$ According to D. A. Wolfram, "Solving Generalized Fibonacci Recurrences", Fib. Quart. May 1998 129-145, (see in particular page 136), for $5\le n\le11$ the Galois group is the symmetric group on $n$ letters, which is not a solvable group, from which it follows that for these values of $n$ there is no solution in radicals. Wolfram conjectures the Galois group is $S_n$ for all $n\ge5$, from which it would follow that there is no solution in radicals for any $n\ge5$.

No me sorprendería saber que en el mientras tanto, alguien ha probado esta conjetura. Si lo encuentro, voy a volver a usted. Los progresos en el papel Paulo R. Martin, El grupo de Galois de $x^n-x^{n-1}-\cdots-x-1$, J. Pure Appl. Algebr. 190 (2004) 213-223. Martin demuestra la conjetura de si $n$ es aún, y si $n$ es primo. El documento puede estar disponible en https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022404903002457 (o puede estar detrás de un paywall).

Answer 2

2) La respuesta es sí. En efecto, si suponemos que el segmento inicial tiene unidades de longitud y la primera (la más grande) de la subdivisión de segmento tiene una longitud de $a$ luego de la segunda subdivisión segmento tiene una longitud de $a\cdot a=a^2$, la tercera subdivisión segmento tiene una longitud de $a^2\cdot a=a^3$, y así sucesivamente. Ya que la suma de las longitudes de la subdivisión de los segmentos es $1$, se obtienen los respectivos géneros. Puede ser simplificado para

$$\frac {1-a^{n+1}}{1-a}-2=0$$

$$a^{n+1}-2a+1=0, 0<a< 1.$$

Supongo que para (casi) todos los $n>4$ esta ecuación no tiene solución en forma cerrada radicales, pero no sé la teoría de Galois suficientemente bien para mostrar esto. Otro enfoque para buscar una forma cerrada es poner a $a=\cos t$, pero no veo cómo se puede proceder más lejos de esto.

Answer 3

Aquí están todos 3 soluciones exactas en Wolfram Alpha. No creo que usted encontrará que es muy útil.