Ayuda con $ \lim\limits_{t \to 0} \int_{-1}^1 \frac{t}{t^2+x^2} f(x)\ dx$

Question

Mostrar que si $f$ es continua en a $[-1,1]$, luego $$ \lim_{t \to 0} \int_{-1}^{1}\frac{t}{t^2+x^2}f(x)\,dx=\pi f(0) $$ Cualquier sugerencias?

Answer 1

Extendamos (por la preservación de la continuidad) el dominio de $f$ mediante el establecimiento $f(x)=f(1)$ cualquier $x\geq 1$ $f(x)=f(-1)$ cualquier $x\leq -1$. Por la sustitución de $x=tz,\,dx=t\,dz$ obtenemos:

$$ \int_{-1}^{1}\frac{t\,f(x)}{t^2+x^2}\,dx = \int_{-1/t}^{1/t}\frac{f(zt)}{1+z^2}\,dx =O(t)+\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{f(zt)}{1+z^2}\,dz$$ y por el teorema de convergencia dominada: $$ \lim_{t\to 0^+}\int_{-1}^{1}\frac{t\,f(x)}{t^2+x^2}\,dx = \lim_{t\to 0^+}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{f(zt)}{1+z^2}\,dz = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{f(0)}{1+z^2}\,dz = \pi\,f(0) $$ como quería. El $O(t)$ término proviene de $$ \int_{1/t}^{+\infty}\frac{1}{1+z^2}\,dz = \arctan(t) = O(t).$$

Answer 2

$\boldsymbol{\delta}$-$\boldsymbol{\epsilon}$ Enfoque

Elegir un $\epsilon\gt0$. Escoge un $0\lt\delta\lt1$, de modo que $|x|\le\delta\implies|f(x)-f(0)|\le\epsilon$. Escoge un $M$, de modo que $\int_{|x|\ge M}\frac1{1+x^2}\,\mathrm{d}x\le\frac{\epsilon}{\max\limits_{|x|\le1}|f(x)|}$. A continuación, para $t\lt \delta/M$, $$ \begin{align} &\left|\,\int_{-1}^1\frac{t}{t^2+x^2}f(x)\,\mathrm{d}x-\pi f(0)\,\right|\\ &=\left|\,\int_{-1/t}^{1/t}\frac1{1+x^2}f(xt)\,\mathrm{d}x-\int_{-\infty}^\infty\frac1{1+x^2}f(0)\,\mathrm{d}x\,\right|\\ &\le\int_{|x|\ge1/t}\frac1{1+x^2}|f(0)|\,\mathrm{d}x+\int_{|x|\lt1/t}\frac1{1+x^2}|f(xt)-f(0)|\,\mathrm{d}x\\ &\le\color{#C00}{\int_{|x|\ge1/t}\frac1{1+x^2}|f(0)|\,\mathrm{d}x}+\color{#090}{\int_{\delta/t\le|x|\lt1/t}\frac1{1+x^2}|f(xt)-f(0)|\,\mathrm{d}x}\\ &+\color{#00F}{\int_{|x|\lt\delta/t}\frac1{1+x^2}|f(xt)-f(0)|\,\mathrm{d}x}\\[6pt] &\le\color{#C00}{\epsilon}+\color{#090}{2\epsilon}+\color{#00F}{\pi\epsilon} \end{align} $$ Así, para cualquier $\epsilon\gt0$ $$ \lim_{t\to0}\left|\,\int_{-1}^1\frac{t}{t^2+x^2}f(x)\,\mathrm{d}x\pi f(0)\,\right|\le(3+\pi)\epsilon $$ lo que significa que $$ \lim_{t\to0}\left|\,\int_{-1}^1\frac{t}{t^2+x^2}f(x)\,\mathrm{d}x\pi f(0)\,\right|=0 $$

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Dominado Enfoque De Convergencia

$[|xt|\le1]$ donde $[\cdots]$ son Iverson entre paréntesis, es la función característica de a $\left[-\frac1t,\frac1t\right]$. Entonces

$\left|\color{#C00}{\frac{[|xt|\le1]}{1+x^2}f(xt)}\right|\le\overbrace{\max\limits_{|u|\le1}|f(u)|\frac1{1+x^2}}^{L^1}$ y para todos $x\in\mathbb{R}$, $\lim\limits_{t\to0}\color{#C00}{\frac{[|xt|\le1]}{1+x^2}f(xt)}=\color{#090}{\frac{f(0)}{1+x^2}}$. Por lo tanto, $$ \begin{align} \lim_{t\to0}\int_{-1}^1\frac{t}{t^2+x^2}f(x)\,\mathrm{d}x &=\lim_{t\to0}\int_{-1/t}^{1/t}\frac1{1+x^2}f(xt)\,\mathrm{d}x\\ &=\lim_{t\to0}\int_{-\infty}^\infty\color{#C00}{\frac{[|xt|\le1]}{1+x^2}f(xt)}\,\mathrm{d}x\\[3pt] &=\int_{-\infty}^\infty\color{#090}{\frac{f(0)}{1+x^2}}\,\mathrm{d}x\\[9pt] &=\pi f(0) \end{align} $$