¿Cuál es el Producto Cartesiano de a$\{x\}$$\{x\}$?

Question

El ejercicio en el que estoy trabajando es "Mostrar que $\{x\} \times \{x\} = \{\{\{x\}\}\}$".

La solución que yo estoy viendo, dice que esto es igual a $\{\{\{x\}\}\}$, pero no entiendo esto todavía.

He aquí lo que yo no entiendo:

• $\{x\}\times\{x\}$ debe ser el conjunto de pares ordenados cuya primera coordenada es en $\{x\}$ y cuya segunda coordenada es también en $\{x\}$.
• La única cosa en $\{x\}$$x$.
• El producto cartesiano es un conjunto.
• Un par ordenado es un conjunto.

Así que si $x$ es la única cosa en $\{x\}$, entonces el único par ordenado de $\{x\} \times \{x\}$ debe $\{x\}$, y el producto cartesiano debe ser el conjunto de todos los pares ordenados, es decir,$\{\{x\}\}$.

Cualquier sugerencias en cuanto a qué me estoy perdiendo?

Answer 1

El conjunto $\{x\}\times \{x\}$ va a ser el singleton que contiene el par ordenado $(x,x)$, es decir,$\{x\}\times\{x\} = \{(x,x)\}$. Por definición, $(x,x) = \{\{x\},\{x,x\}\}$. Este último conjunto es igual a $\{\{x\},\{x\}\}$ desde $\{x,x\} = \{x\}$, y este último conjunto es igual a $\{\{x\}\}$ desde $\{x\} = \{x\}$. Por lo tanto $\{x\}\times\{x\} = \{\{\{x\}\}\}$.