Cuántas $6$caras y $8$caras estándar de dados existen?

Question

Estándar significa que la suma de los lados opuestos es $7$ $6$colindado mueren y $9$ $8$colindado muere.

Answer 1

Para seis lados, sólo hay dos posibilidades. Esto es debido a que el $1$, $2$ y $3$ tienen que cumplir en una esquina y una vez que el lugar de ellos, el resto de la matriz es determinado. Usted puede tener $1,2,3$ de las agujas del reloj o en sentido antihorario la vuelta de la esquina, dando lugar a dos posibilidades que son imágenes especulares el uno del otro.

Para ocho lados es mucho más complicado, ya que hay muchas maneras de organizar $1,2,3,4$ sin tener ninguno de ellos frente al otro. Si $1$ $2$ son adyacentes (es decir, en dos caras que comparten un borde), hay $4$ opciones para situar $3$, y para cada uno de esos hay $2$ opciones para que la cara es $4$ (a continuación, $5,6,7,8$ son determinados). Esto le da a $8$ diferentes opciones, y hay $8$ más que la obtenida por el intercambio de $2$$7$, de modo que $2$ $1$ no son adyacentes. Así que en total hay $16$ arreglos.

(editar) por cierto, el número total de formas número de una matriz con $2n$ que se enfrenta es el número de formas estándar de los tiempos de $(2n-1)!!$ (es decir, el producto de todos los números impares hasta el $(2n-1)$). Esto es porque hay $(2n-1)!!$ maneras de dividir los números en $n$ pares, y entonces el número de maneras de poner a cada par de caras opuestas es el mismo que el problema original. Así que hay $30$ a los seis caras de los dados y $1680$ ocho caras de los dados.

Answer 2

Aquí es otra manera de contar la octaédrico (8=cara) de caso.

Llevar el triángulo con $1$ en la parte delantera. Tiene tres números adyacentes de los pares de $(2,7);(3,6);(4,5)$. Girar de modo que $2$ o $7$ está en la base del triángulo ($2$ posibilidades). Para cada caso hay $4$ posibilidades para el lado izquierdo de $1$ y dos posibilidades de permanecer por el lado derecho. Total $16$.

Para el cubo. Siempre se puede girar de modo que he a $1$ en la parte delantera y $2$ en la base. Entonces hay dos posibilidades para la colocación de $3$$4$.

Answer 3

Otra forma de hacer el recuento:

Vamos a empezar por contar cuántas maneras podemos poner números de $1$ a través de $2n$ en un regular $2n$colindado mueren si fijamos la posición de morir en el espacio (no permiten la rotación de la matriz para poder cambiar el lugar donde aparezcan los números). Este es el número de maneras en que podemos permutar las $2n$ números entre el $2n$ lugares donde pueden ser escritas; el número de maneras es $$(2n)! = (2n)(2n-1)(2n-2)\cdots(3)(2)(1).$$

Ahora, contar el número de maneras en que podemos orientar al morir (lo que permite que gire ahora), por lo que ocupa el mismo espacio que antes, pero no necesariamente con los mismos números que enfrentan las mismas direcciones. Llame a este número $|R_{2n}|.$ Este es el número de veces que cada una de las posibles numeración de morir se repitió cuando nos contaron los rostros sin considerar la posibilidad de convertir el morir. Por lo que el número total de formas número de regular $2n$colindado mueren, no la cuenta de rotaciones de la misma mueren como diferentes numeraciones, es $$\frac{(2n)!}{|R_{2n}|}.$$

Pero como se señaló en otra respuesta, el número total de formas número de regular $2n$colindado mueren es exactamente $(2n-1)!! = (2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots(5)(3)(1)$ veces el número de estándar numeraciones de morir (si cualquier estándar numeraciones de existir). Por lo que el número total de estándar numeraciones es $$\frac{(2n)!}{(2n-1)!!\cdot|R_{2n}|} = \frac{(2n)!!}{|R_{2n}|},$$ donde $(2n)!! = (2n)(2n-2)(2n-4)\cdots(6)(4)(2).$

Sólo existen cinco poliedros regulares, para que estos números vienen a: $$\begin{array}{rrrrrr} 2n & (2n)! & |R_{2n}| & \text{number of dice} & (2n)!! & \text{standard}\\ \hline 4 & 24 & 12 & 2 & 8 & - \\ 6 & 720 & 24 & 30 & 48 & 2 \\ 8 & 40320 & 24 & 1680 & 384 & 16 \\ 12 & 479001600 & 60 & 7983360 & 46080 & 768 \\ 20 & 2432902008176640000 & 60 & 40548366802944000 & 3715891200 & 61931520 \end{array}$$

Obviamente no son "estándar" numeraciones para un $4$colindado mueren, ya que no a la cara de un "frente" de la cara, pero las fórmulas todavía la cuenta de cuantas maneras de morir puede ser numeradas, sin esa restricción.

Answer 4

Una manera divertida de hacer d8:

En primer lugar, girar de modo que el 1 de cara a ti, punto. El 8 está en el lado opuesto.

En la parte superior izquierda del borde. Hay 6 posibles números.

De las agujas del reloj, hay 4 posibilidades para el siguiente, y, a continuación, 2 para el último.

Este es 6*4*2 48.

Ahora, la primera opción-la parte superior del borde izquierdo -- es simétrica en la selección de cualquiera de los bordes. De hecho, se han enumerado cada transcripción 3 veces a causa de esto.

Así 48/3 = 16.

Podemos hacer lo mismo con un 6 colindado muere. En primer lugar, poner el 1 hacia usted.

Hay 4 posibilidades para la parte superior, dejando 2 para el lado de las agujas del reloj lado. La opción de escoger superior tiene 4 alternativas equivalentes para empezar, así que nos overcounted por un factor de 4, dejando 2 arreglos en total.

Podemos entonces resolver el d20 caso. "Las agujas del reloj alrededor de la 1" no funciona, pero cualquier camino de longitud N/2-1 que no toque los opuestos de trabajo. En el d20 caso, hay una doble 3-simetría (como el d8 caso).

Por lo tanto, hay 18*16*14*12*10*8*6*4*2/3, o 61931520, diferentes arreglos de un 20 colindado mueren, y 10*8*6*4*2/5, o 768, de un dado de 12 caras.

O, para un dN con K-simetría en torno a un lado y a cada lado la determinación de su opuesto, hay (N-2)!!/K número de maneras de morir.

Como sólo hay 4 diferentes sólidos platónicos con los lados opuestos, esto es menos que completamente útil.

Una comprobación de validez en la de 12 lados de morir:

 2 3
4 1 5
  6

5! arreglos de 2-6. Cada uno puede ser intercambiado por su opuesto (2^5). Esta doble cuenta hasta 5 veces de rotación (/5). La respuesta es de 768.

Doble comprobación de d20 es más complicado.