Sin usar una calculadora y un logaritmo, ¿cuál de $100^{101} , 101^{100}$ es mayor?

Question

¿Cuál de los siguientes números es mayor? Sin utilizar la calculadora y el logaritmo.

$$100^{101} , 101^{100}$$

Mi intento : $$100=10^2\\101=(100+1)=(10^2+1)$$

Así que..:

$$100^{101}=10^{2(101)}\\101^{100}=(10^2+1)^{100}=10^{2(100)}+N$$

¿Y ahora qué?

Answer 1

Quiere determinar si $\left(\frac{101}{100}\right)^{100}\geq 100$ . Pero sabemos que $ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ es siempre menor que $e$ .

Answer 2

101 100 \= (100+1) 100

Utilizando el teorema del binomio, obtenemos 101 términos, ninguno de ellos mayor que 100 100 y los tres términos más pequeños suman menos de 100 100 . Así que la suma es menor que 99(100 100 ), que es inferior a 100(100 100 ), que es igual al 100 101 .

Answer 3

$$\frac{101^{100}}{100^{101}} =\frac1{100}\cdot \left(\frac{101}{100}\right)^{100}=\frac1{100}\cdot\left(1+\frac1{100}\right)^{100}\approx \frac e{100}\ll 1$$

Por supuesto, el " $\approx$ " necesita ser domado, pero el " $\ll$ "permite mucho margen de maniobra. Una forma de elaborar la idea es utilizar $$ \left(1+\frac1{100}\right)^{100}\cdot \left(1-\frac1{100}\right)^{100}=\left(1-\frac1{10000}\right)^{100}<1$$ y la desigualdad de Bernoulli: $$\left(1-\frac1{100}\right)^{100}=\left(1-\frac1{100}\right)^{50}\cdot \left(1-\frac1{100}\right)^{50}\ge \left(1-\frac{50}{100}\right)^2=\frac14$$ para que en última instancia $$\frac{101^{100}}{100^{101}}<\frac 4{100}. $$

Answer 4

En esta respuesta se demuestra que $\left(1+\frac1n\right)^n$ aumenta a $e\lt3$ . Así, para $n\ge3$ , $$ \left(1+\frac1n\right)^n\lt n $$ Multiplicar por $n^n$ y obtenemos $$ (n+1)^n\lt n^{n+1} $$

Answer 5

Para una secuencia, $100^n$ A medida que n aumenta, el número de dígitos se incrementa en 2.

En la secuencia de $101^n$ Después de encontrar los 3 primeros términos se puede ver el patrón y concluir que para todos los valores de n, el término es 2 dígitos más que el último término, nunca 3 dígitos más. $101, 10201, 1030301, 104040401, 10505050501\dotsc$

Si comparamos $100^{101}$ y $101^{100}$ podemos utilizar las dos observaciones anteriores para concluir que $100^n > 101^{n-1}$ Así que $100^{101} > 101^{100}$ .