Pruébalo: $f(f(x)) = x^2 \implies \int_{0}^{1}{(f(x))^2dx} \geq \frac{3}{13}$

Question

Dejemos que $f: [0,\infty) \to [0,\infty)$ sea una función continua tal que $f(f(x)) = x^2, \forall x \in [0,\infty)$ . Demostrar que $\displaystyle{\int_{0}^{1}{(f(x))^2dx} \geq \frac{3}{13}}$ .

Todo lo que sé sobre esta función es que $f$ es biyectiva, es estrictamente creciente*, $f(0) = 0, f(1) = 1, f(x^2) = (f(x))^2, \forall x \in [0, \infty)$ y $f(x) \leq x, \forall x \in [0, 1]$ **. Con todo esto, no soy capaz de demostrar que $\displaystyle{\int_{0}^{1}{(f(x))^2dx} \geq \frac{3}{13}}$ .

*Supongamos que $f$ es estrictamente decreciente. Entonces, $\forall x \in (0,1), x^2 < x \implies f(x^2) > f(x) \iff (f(x))^2 > f(x) \iff f(x) > 1$ lo cual es falso porque, si sustituimos $x$ con $0$ y con $1$ en $f(x^2) = (f(x))^2$ conseguimos que $f(0) \in \{0,1\}$ y $f(1) \in \{0,1\}$ . Así que $f$ es estrictamente creciente.

**Supongamos que existe $x_0 \in [0, 1]$ tal que $f(x_0) > x_0$ . Entonces, $x_0^2 = f(f(x_0)) > f(x_0) > x_0$ que es falsa. Entonces $f(x) \leq x, \forall x \in [0,1]$ .

Editar:

Se me ha ocurrido una idea para utilizar las sumas de Riemann, pero llego a un punto en el que no puedo continuar.

Dejemos que $\epsilon < 1$ . Entonces $f(\epsilon) = x_1$ y $f(x_1) = \epsilon^2$ . Y ahora $(f(\epsilon))^2 = f(\epsilon^2) = x_2$ y así sucesivamente. Ahora utilizaremos la suma de Riemann:

Tomaremos la partición $\Delta = (1 > \epsilon > \epsilon ^2 > ... \epsilon ^{2^n} >0 ) $ y los puntos intermedios serán el margen izquierdo de cada intervalo. Entonces tenemos:

$\displaystyle{\int_{0}^{1}{(f(x))^2 dx}} = \displaystyle{ \lim_{\epsilon \to 1}{\lim_{n \to \infty}{\sum_{k = 0}^{n}{(\epsilon^{2^k} - \epsilon^{2^{k+1}})\epsilon^{2^{k+1}}}}}}$

No sé cómo calcular esto.

Answer 1

Aunque puedo derivar algunos límites, no son tan buenos como $3/13 \approx 0.23077$ . Denotaré la integral por $I = \int_0^1 (f(x))^2 dx$ .

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Lo siguiente da inmediatamente $I\geq 1/5$ .

$$\tag{1} x^2 \leq f(x) \leq x \quad \quad x\in[0,1]$$

Para ver esto, dejemos $y=f(x)/x$ entonces $y\leq 1$ . $$xy = f(x) \implies f(f(x)) = x^2 = f(xy) \leq xy \implies x \leq y = f(x)/x$$

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El siguiente método tiene potencial (o no, porque utiliza (1)) para dar mejores límites: Sea $0<a<1$ ya que $f(x)$ es creciente, tenemos para todo $n\geq 1$ : $$\begin{aligned} I = \int_0^1 (f(x))^2 dx &\geq f(a)^2(1-a) + \sum_{k=1}^n (a^{2^{k-1}}- a^{2^k})f(a^{2^{k}})^2 \\&= f(a)^2(1-a) + \sum_{k=1}^n (a^{2^{k-1}}- a^{2^k})f(a)^{2^{k+1}} \end{aligned}$$ donde tomamos los puntos extremos izquierdos de cada intervalo.

Por lo tanto, $$\begin{aligned} I \geq a^4(1-a) + \sum_{k=1}^n (a^{2^{k-1}}- a^{2^k})a^{2^{k+2}}\end{aligned}$$

Poner $n=0$ da $$I \geq a^4(1-a)$$ elegimos $0<a<1$ tal que el RHS es maximizado, esto da $$I \geq \frac{256}{3125} \approx 0.08192$$

Truncando en $n=1$ da $$I \geq a^4(1-a) + a^8(a^2 - a^4)$$ produce $$I \geq 0.113073$$

En $n=2$ da $I \geq 0.133101$ , $n=3$ da $I\geq 0.143863$ Puede continuar este proceso para obtener sucesivos límites mejores, pero no está seguro de si alguna vez superará $1/5$ o mejor $3/13$ Aunque estoy seguro de que $3/13$ no es el límite óptimo.

Quizá mis aproximaciones puedan mejorarse para obtener mejores estimaciones.