Serie de energía representación de arco tangente: no convergen en todas partes

Question

Mi comprensión de potencia de la serie resulta ser menos-bien-formado de lo que yo pensaba. A confesar, me llevé a mis dos cursos de análisis en la escuela de posgrado (uno real, uno de los complejos) y salió.

Ya que esta es mi Calc II clase, vamos a mantener todo en variables reales, por favor. No es difícil derivar el poder de la serie para $\arctan(x)$ $$ \arctan(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}, \ -1 \leq x \leq 1. $$ También no es difícil calcular el intervalo de convergencia de la mano derecha. Tan lejos, tan bueno.

Aquí está mi pregunta y por qué de repente me vea cómo ingenuo soy. Tiendo a pensar que de $\arctan$ como una increíblemente buena función, así que espero que su poder/serie de Taylor converge en todas partes. En resumen, considero que la $\arctan$ como siendo tan bonito como $f(x) = e^x$, cuyo poder de la serie representación converge en todas partes (dominio de la potencia de la serie coincide con el dominio de la función). La misma historia de $\sin(x)$$\cos(x)$. Son "bonito", por lo que su potencia de la serie converge en todo su dominio.

Cuando la alimentación de la serie para algo como $\ln (x)$ o $\frac{1}{x}$ ha finito radio, estoy completamente bien con que, como es evidente que existe una discontinuidad en la que te encuentras como usted trabaja su manera de salir del centro. Pero, ¿por qué el poder de la serie para $\arctan(x)$ tiene un número finito de radio? Sé que algo va mal con Taylor resto y esto es lo que impide que la serie representa a $\arctan(x)$ en todas partes, pero yo agradecería una explicación desde el punto de vista de las propiedades de $\arctan(x)$ y no su poder serie: ¿qué es lo $\arctan(x)$ que impide su poder de la serie de manera óptima "nice"?

Answer 1

Su insistencia "vamos a mantener todo en variables reales, por favor" es precisamente el problema: la causa de la finitos radio de convergencia es debido a la función del comportamiento en $\mathbf C$, no $\mathbf R$.

Una forma mucho más simple ejemplo de $\arctan x$$1/(1+x^2)$, el cual se define e infinitamente derivable en toda la recta real, pero su poder de la serie en $0$ (una serie geométrica con a $-x^2$ en lugar de $x$) tiene radio de convergencia $1$, no $\infty$. El uso de su idioma, "es evidente que existe una discontinuidad en la que te encuentras como usted trabaja su manera de salir del centro", es decir, en $x = \pm i$ cuando la función de golpes. De hecho, si se expanda $1/(1+x^2)$ a una toma de corriente de la serie en un número real $a$, no necesariamente en $0$, el radio de convergencia se $\sqrt{a^2+1} = |a-i|$ - la distancia desde el centro de a $i$. Este fenómeno es desconcertante si rechaza el uso de los números complejos y muy claro si el uso de ellos. Elige sabiamente.

Si $f(x)$ es una función racional en la forma reducida con un no constante el denominador y su denominador no se anula en a $a$, su poder de serie en $a$ tiene radio de convergencia $|a-\rho|$ donde $\rho$ es la raíz del denominador en $\mathbf C$ que es la más cercana a $a$. Este geométrica simple resultado no puede ser explicado en términos de variables reales si las raíces del denominador no son todos los reales.

Para reforzar lo mal que los números reales se comparan con los números complejos como herramienta de predicción para el radio de convergencia, hay funciones de $\mathbf R \rightarrow \mathbf R$ que son infinitamente derivable en toda la recta real, pero su poder serie a cada número real $a$ tiene radio de convergencia a cero para todos los $a$$\mathbf R$.

Estrictamente hablando, los números reales tiene información suficiente en principio para calcular el radio de convergencia $R$ de potencia de la serie $\sum c_n(x-a)^n$ todos los coeficientes reales utilizando Hadamard la fórmula de $1/R = \varlimsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}$, pero esta fórmula es a menudo no es factible calcular en la práctica.

Answer 2

Que $z$ ser un número complejo arbitrario. Entonces $\arctan(z) = \frac12 i \log(1 - i z) - \frac12 i \log(1 + i z).$

Observe que $1-iz=0$ si $z=-i,$ y $1+iz=0$ si $z=i.$ % que $\arctan(z)$tiene singularidades en $z=-i$ y $z=i.$

Una cosa sobre el radio de convergencia de números complejos es que si trazar en un diagrama de Argand, realmente es un radio de un círculo. Dentro del círculo de la serie siempre converge, diverge fuera de él. La serie de la función números reales $\arctan(x)$ es a $\arctan(z)$ restringido a la línea número real, por lo que tiene el mismo comportamiento.