Ecuación de onda para ondas sonoras y fuente en movimiento

Question

¿Existe una forma de tener en cuenta una fuente en movimiento cuando se obtiene la ecuación de onda para las ondas sonoras y derivar a partir de ella utilizando sólo las matemáticas el efecto Doppler para las fuentes en movimiento?

Answer 1

Si te he entendido bien, quieres describir las ondas sonoras desde el punto de vista de un observador en movimiento. Para ello, basta con tomar la ecuación de onda estándar y realizar una sustitución de variables $\mathbf{x}\mapsto \mathbf{y}:=\mathbf{x}-\mathbf{v}\cdot t$ .

Se comienza con $$ \partial_t^2 p(\mathbf{x},t) = c^2\nabla^2 p(\mathbf{x},t) = c^2\sum_i\partial_{\!x_i}^2 p(x_1,\ldots,t) $$ El lado derecho se transforma en $$ c^2\sum_i\partial_{\!x_i}^2 p(x_1,\ldots,t) = c^2\sum_i\partial_{\!x_i}^2 p(y_1+v_1t,\ldots,t) $$ donde todavía tenemos que sustituir la derivada WRT $x_i$ contra el derivado WRT $y_i$ pero son lo mismo: $$ \frac{\partial}{\partial x_i} = \frac{\partial y_i}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial y_i} = (1+0)\cdot\frac{\partial}{\partial y_i}; $$ así que $$ c^2\nabla_{\!\!\mathbf{x}}^2p(\mathbf{x},t) = c^2\nabla_{\!\!\mathbf{y}}^2p(\mathbf{y}+\mathbf{v}t,\ t). $$ El lado izquierdo se transforma en $$ \partial_t^2 p(\mathbf{x},t) = \partial_t^2 p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot t,\ t). $$

En este caso, nos gustaría dejar el $+\mathbf{v}t$ pero antes tenemos que tener en cuenta la derivada de este término: $$ \partial_t p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot t,\ t) = \left.\bigl(\partial_t p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot \tau,\ t)\bigr)\right|_{\tau=t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\!\!\mathbf{y}}p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot t,\ t) $$ ahora la segunda derivada: $$ \partial_t\left.\bigl(\partial_t p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot \tau,\ t)\bigr)\right|_{\tau=t} = \left.\bigl(\partial_t\partial_\tau p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot \tau,\ t)\bigr)\right|_{\tau=t} + \left.\bigl(\partial_t^2 p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot \tau,\ t)\bigr)\right|_{\tau=t} $$ donde $$ \left.\bigl(\partial_t\partial_\tau p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot \tau,\ t)\bigr)\right|_{\tau=t} = \left.\bigl(\partial_t\,\mathbf{v}\!\cdot\!\nabla_{\!\!\mathbf{y}}p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot \tau,\ t)\bigr)\right|_{\tau=t} $$ y $$ \partial_t\,\mathbf{v}\!\cdot\!\nabla_{\!\!\mathbf{y}}p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot t,\ t) = \mathbf{v}\!\cdot\!\nabla_{\!\!\mathbf{y}} \left(\left.\bigl(\partial_t p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot \tau,\ t)\bigr)\right|_{\tau=t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\!\!\mathbf{y}}p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot t,\ t)\right) $$ $$ = \left.\bigl(\partial_t\,\mathbf{v}\!\cdot\!\nabla_{\!\!\mathbf{y}}p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot \tau,\ t)\bigr)\right|_{\tau=t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\!\!\mathbf{y}}^2\,\mathbf{v}\,p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot t,\ t) $$ En conjunto, obtenemos $$ \partial_t^2p(\mathbf{x},t) = \left.\left( \partial_t^2 p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot \tau,\ t) + 2 \partial_t\,\mathbf{v}\!\cdot\!\nabla_{\!\!\mathbf{y}}p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot \tau,\ t) + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\!\!\mathbf{y}}^2\,\mathbf{v}\,p(\mathbf{y}+\mathbf{v}\cdot t,\ t) \right)\right|_{\tau=t}. $$ Ahora podemos dejar el $+\mathbf{v}t$ en ambos lados de la ecuación, y obtenemos $$ \partial_t^2 p(\mathbf{y},t) + 2 \partial_t\,\mathbf{v}\!\cdot\!\nabla p(\mathbf{y},t) + \mathbf{v}\cdot\nabla^2\,\mathbf{v}\,p(\mathbf{y},t) = c^2\nabla^2p(\mathbf{y},t) $$