Supongamos que $p, p+2, p+4$ son números primos. Demostrar que $p = 3$ no usar algoritmo de división.

Question

Supongamos que $p, p+2, p+4$ son números primos. Demostrar que $p = 3$ no usar algoritmo de división. Sugerencia: ¿por qué no $p = 5$ o 7?

Por lo que he hecho las dos pistas y en ambos casos me sale un 9 en mi conjunto de números, 9 no es primordial. ¿Pero ahora mi problema es cómo extender esta idea a todos los demás números primer excepto $p = 3$? No sé con certeza para cada primer mayor de 3 cuando 2 o 4 se agregan a lo que voy a tener un número compuesto. Soy contradicción de pensamiento tal vez...

Answer 1

No exactamente seguro de lo que quieres decir por "algoritmo de la división", pero tengo la sensación de que el mejor, la forma más directa para demostrar esto implica que el algoritmo. Así que lo voy a utilizar en su lugar es la base 3 de la representación de $p, p + 2, p + 4$.

Si $p$ es un primo mayor que 3, la base 3 de la representación termina en 1 o 2. Si la base 3 de la representación de $p$ termina en 1, entonces la base 3 de la representación de $p + 2$, luego termina en 0, lo que significa que es un múltiplo de 3, y sabemos que sin necesidad de tener que calcular $\frac{p + 2}{3}$.

Si la base 3 de la representación de $p$ termina en 2, entonces la base 3 de la representación de $p + 2$ termina en 1, por lo que podría ser un primer número. Pero entonces la base 3 de la representación de $p + 4$ termina en 0.

Sólo hay un primer de tal forma que su base 3 de la representación termina en 0, y que el 3 de sí mismo. A continuación, 5 en base 3 es de 12 y 7 es 21.

Answer 2

Meditación: ¿Qué es tan especial acerca de la 9? ¿Por qué es 9 no es primo?

Meditación: ¿qué es tan especial acerca de los 3 que significa que puede ser por arte de magia exento de las restricciones que hacen de $p$ no válido para cualquier otro primo?

(Hacer pensar en aquellos que, antes de salir.)

Esos dos juntos implica que vamos a utilizar que "un múltiplo de 3 siempre se encuentra en la triple". La razón por la que suficiente es porque $p=3$ es la única manera de que podamos conseguir un primo que también es divisible por 3.

Reducir toda la cosa modulo $3$ y tiene el resultado de inmediato, a pesar de que es una especie de trampa, de forma implícita mediante el algoritmo de la división. En su lugar, yo probablemente use el principio del palomar: si ninguno de ellos es divisible por 3, entonces al menos dos tienen la misma paridad mod 3. (Siendo una especie de utiliza el algoritmo de la división, pero con menos claridad.) Restar los dos, y tenemos algo que es divisible por 3. Pero eso significa que 1 o 2 o 4 es divisible por 3. Contradicción.