Gödel ' s paradoja---cada conjunto de fórmulas es consistente

Question

Estoy seguro de que he hecho un bruto malentendido de los teoremas de completitud de Gödel, en cuanto a mí, parece seguir que concuerdan todos los conjuntos de fórmulas.

Sea $\Gamma$ un conjunto de fórmulas. Si $\Gamma\vdash\psi$, luego por el teorema de completitud de Gödel, $\Gamma\models\psi$.

Entonces $\Gamma\not\models(\neg\psi)$.

Por Gödel, $\Gamma\not\vdash(\neg\psi)$.

Por lo tanto, $\Gamma$ es constante.

Estoy bastante seguro que hay una falla en el argumento anterior, pero bastante no puedo identificarlo.

¡Sinceramente se agradece cualquier ayuda!

Answer 1

Dos cosas.

En primer lugar, $\Gamma \vdash \psi$implicando $\Gamma \models \psi$ se conoce como el Teorema de validez para la prueba de sistema $\vdash$ (es decir, "premisas verdaderas no probar conclusiones falsas").

Ahora en su supuesta prueba, el defecto se produce en "Luego $\Gamma \not\models (\neg \psi)$". Es decir, $\Gamma \not \models (\neg\psi)$ sólo puede ser válido si hay un modelo de $\Gamma$ en que $\neg \psi$ es falsa. En particular, tácitamente asumimos la existencia de un modelo de $\Gamma$ en primer lugar.

Por lo tanto la prueba es circular.

Answer 2

Si $\Gamma$ es incompatible para empezar no tiene ningún modelo. Por lo tanto $\Gamma\models\psi$ vacuously, sostiene cada $\psi$.

En particular, se deduce que si $\Gamma$ es incompatible entonces $\Gamma\models\lnot\psi$, contrario a la "prueba".

Es decir, el % de paso $(\Gamma\models\psi)\rightarrow(\Gamma\not\models\lnot\psi)$requiere la suposición de que $\Gamma$ es consistente y por lo tanto resultando en circularidad.

Answer 3

Compruebe el segundo paso. $\Gamma \not ⊨ \phi$ significa que hay un modelo de $\Gamma$, que no puede suceder si $\Gamma$ es incompatible.