Como Hunter y Sean señalaron, ya que el mapa de inflación ${\rm{H}}^1(L/F,G(L)) \rightarrow {\rm{H}}^1(F,G)$ es inyectiva y ${\rm{H}}^1(F,G)$ es siempre finito (Borel-Serre), tal $L$ siempre existe. A continuación damos una condición suficiente explícita sobre $L$ (a menudo satisfecho) cuando $G$ está conectado. (Probablemente se podría hacer mejor con una consideración más cercana de los aspectos de dualidad local de Tate del argumento. Soy perezoso en este paso). Esto se basa en algo más profundo que el resultado de Borel-Serre: el teorema de Kneser-Bruhat-Tits sobre la desaparición de la cohomología de Galois de grado 1 para grupos semisimples simplemente conectados sobre campos locales no arquimédicos.
En primer lugar, establecemos una notación. Sea $U = \mathcal{R}_u(G)$ denotan el radical unipotente de $G$ (esta es una buena noción sobre $F$ desde $F$ es perfecto), y dejemos que $G' = G/U$ denotan el cociente reductor máximo. El componente de identidad $Z'$ del centro de $G'$ es un $F$ -y el grupo derivado $\mathcal{D}(G')$ es un grupo semisimple, digamos con cubierta central simplemente conectada $\mathcal{G} \twoheadrightarrow \mathcal{D}(G')$ . La preimagen $\mu$ de la central subgrupo $Z' \cap \mathcal{D}(G')$ es un finito $F$ -grupo de tipo multiplicativo. (Es el núcleo del mapa de cobertura central si $Z' = 1$ .)
Propuesta: Supongamos que $G$ se conecta y se utiliza la notación anterior. Sea $F'/F$ sea un campo de división de Galois finito para $G'$ (por lo tanto para $Z'$ y dual de $\mu$ ). Si $L/F$ es una extensión de Galois finita que contiene $F'$ con $[L:F']$ divisible por el orden de $\mu$ entonces ${\rm{H}}^1(F,G) = {\rm{H}}^1(L/F,G(L))$ .
En particular, si $G$ es un reductor conectado dividido $F$ -grupo entonces $L/F$ funciona siempre que $[L:F]$ es divisible por el orden del centro de la cubierta central simplemente conectada cubierta central de $\mathcal{D}(G)$ .
Observación: Si $T$ es un máximo $F$ -toro en $G$ entonces se mapea isomórficamente en uno para $G'$ , por lo que podría tomar $F'/F$ para ser campo de división para $T$ .
Prueba: Dado que $F$ tiene característica 0, el mapa cociente $G \twoheadrightarrow G'$ admite una sección $\sigma$ en $F$ es decir, existe un reductor conectado $F$ -subgrupo $H \subseteq G$ tal que $H \ltimes U \simeq G$ a través de la multiplicación (esto es lo que se llama un Levi $F$ -subgrupo de $G$ ); tenga en cuenta que sobre cualquier campo algebraicamente cerrado $k$ con característica distinta de cero los subgrupos de Levi pueden no existir. (Un contraejemplo natural básico es, a grandes rasgos, ${\rm{SL}} _2(W _2(k))$ como $k$ -grupo, donde $W _2$ denota vectores de Witt de longitud 2; véase el apéndice A.6 en el libro "Grupos pseudorreductores").
Utilizando $\sigma$ (o $H$ ), el mapa de restricción natural ${\rm{H}}^1(F,G) \rightarrow {\rm{H}}^1(F,G')$ es sobreyectiva. También es inyectiva. De hecho, un argumento de torsión estándar (como se explica en el libro de Serre sobre cohomología de Galois) identifica las fibras con ${\rm{H}}^1(F,U')$ para varios $F$ -forma $U'$ de $U$ . Pero como el campo base es perfecto, todo grupo unipotente liso conectado es divisible (es decir, admite una serie de composición cuyos cocientes sucesivos son $\mathbf{G}_a$ ) y, por lo tanto, tiene trivial ${\rm{H}}^1$ . Así, obtenemos la biyectividad afirmada. Hasta ahora no hemos utilizado nada de $F$ además tiene la característica 0.
También tenemos ${\rm{H}}^1(E/F,U'(E)) = 1$ para cualquier unipotente liso conectado $F$ -grupo $U'$ y cualquier extensión de Galois $E/F$ por lo que el mismo argumento da que ${\rm{H}}^1(E/F,G(E)) \rightarrow {\rm{H}}^1(E/F,G'(E))$ es biyectiva para cualquier extensión de Galois $E/F$ . Así, el mapa de inflación inyectiva $${\rm{H}}^1(E/F,G(E)) \rightarrow {\rm{H}}^1(F,G)$$ es biyectiva si y sólo si lo mismo ocurre con $G'$ en lugar de $G$ .
Considere la estructura de extensión central $$1 \rightarrow \mu \rightarrow Z' \times \mathcal{G} \rightarrow G' \rightarrow 1$$ en $F$ donde el segundo mapa utiliza la multiplicación. Por Kneser-Bruhat-Tits tenemos una secuencia exacta de conjuntos puntuales $${\rm{H}}^1(F,Z') \rightarrow {\rm{H}}^1(F,G') \rightarrow {\rm{H}}^2(F,\mu)$$ y de forma similar sobre $L$ con un diagrama conmutativo utilizando mapas de restricción.
Por la teoría del campo de clase local, el mapa de restricción de ${\rm{H}}^2(F',\mu)$ a ${\rm{H}}^2(L,\mu)$ desaparece, por lo que también para ${\rm{H}}^2(F,\mu) \rightarrow {\rm{H}}^2(L,\mu)$ . (Esto es débil; traduciendo la restricción a través de la dualidad local de Tate seguramente podemos dar un mejor "límite inferior" suficiente para tal $L$ .) Para cualquier $L$ se deduce que la restricción de ${\rm{H}}^1(F,G')$ a ${\rm{H}}^1(L,G')$ tierras a imagen y semejanza de ${\rm{H}}^1(L,Z')$ . Pero esto se desvanece desde que el $F$ -toro $Z'$ es incluso $F'$ -split, deja por no hablar de $L$ -Separación. Así, ${\rm{H}}^1(F,G') \rightarrow {\rm{H}}^1(L,G')$ desaparece, es decir, que $L$ "trabaja" para $G'$ por lo que lo mismo ocurre con $G$ . QED
