Funciones medibles y operadores ilimitados en álgebras de von Neumann

Question

¿Cómo se puede definir sin límites medibles para las funciones de general von Neumann álgebra?

Para el álgebra conmutativa $L^\infty(X,\mu)$, podemos considerar el espacio de todas las funciones medibles que están en casi todas partes finitas. Este conjunto tiene ciertas propiedades atractivas: es cerrado bajo la multiplicación y existe la noción de convergencia en casi todas partes.

Para el álgebra no conmutativa de operadores acotados en un espacio de Hilbert, podemos considerar el conjunto de todos los cerrados no acotados operadores con dominio denso. Estos operadores son muy importantes en la PDE, ya que los operadores diferenciales son siempre sin límites. No es obvio para mí, sin embargo, ¿por qué el producto de dos operadores no acotados será de nuevo un buen operador o cómo generalizar la convergencia en casi todas partes a esta configuración.

Es allí cualquier tipo de construcción como el de arriba para arbitrario von Neumann álgebra? Se puede conseguir cualquier estándar de propiedades medibles de las funciones de esta construcción?

Si el cierre del espectro de una desenfrenada operador $T$ no es toda la $\mathbb C$, e $z$ no se encuentran en este conjunto, entonces podemos considerar que en lugar de $T$ el resolvent $(z-T)^{-1}$, que será un operador acotado. Sin embargo, no es claro para mí cómo proceder cuando el espectro es el conjunto de la $\mathbb C$ o si hay más camino conceptual para definir estos objetos.

Actualización: debo de haber enunciado de la pregunta incorrectamente; la respuesta a la pregunta original sería dado por los afiliados a los operadores, una construcción bella y útil, pero no es lo que yo tenía en mente. Lo siento por la confusión causada (por cierto, ¿alguien sabe cómo puedo marcar dos respuestas aceptado, uno para la pregunta original y uno para el expresarse de otra manera?) La reformula la pregunta es:

Para cada uno de von Neumann álgebra, definir canónicamente un conjunto $S$ tal forma que: * Para el álgebra $L^\infty(X)$, $S$ es el conjunto de todas las funciones medibles sobre $X$. * Para el álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert, $S$ es el conjunto de todos los operadores no acotados en el mismo espacio de Hilbert. Alternativamente, explicar por qué es imposible (o irrazonable try) para definir un conjunto de todas las álgebras de von Neumann. Así que, quiero de alguna manera ver el conjunto de objetos que de alguna manera recuerdan ilimitado a los operadores, no para el estudio de determinados ilimitado de operadores en espacios. Estos objetos no necesita ser real, los operadores en cualquier sentido para un arbitrario de álgebra.

Answer 1

Creo que tu pregunta debería ser como sigue:

Dada un álgebra de von Neumann $M$, podemos definir un conjunto canónico $S$ tal que

• si $M=L^\infty(X)$ actuando en $L^2(X)$, $S$ es (isomorfo a) el conjunto de una.e. define funciones medibles, y
• si $M=B(H)$ actuando en $H$, $S$ es la densamente definido, cerrado ilimitado a los operadores?

Si tomamos esta alteración leve de la cuestión, entonces creo que la respuesta es cerrada afiliados a los operadores. He aquí un bosquejo de una prueba que creo que debería funcionar, pero usted debe comprobar los detalles sólo para asegurarse.

Deje $A=L^\infty(X)$. Si $f$ es un un.e. mensurable definido la función, definir como en mi otra respuesta $$ D(M_f)=\{ \xi\en L^2(X) | f\xi\en L^2(X)\}. $$ A continuación, $M_f\colon D(M_f)\to L^2(X)$ es cerrado y afiliados con $A$.

Ahora supongamos $T$ es un cerrado, densamente definido operador afiliados a $A$ actuando en $L^2(X)$ (abreviado $T\eta A$). Entonces que podemos hacer de descomposición polar para obtener $T=U|T|$ donde$U\in A$$|T|\eta A$. Por lo tanto hemos reducido a los casos en que $T$ es positivo y auto adjunto. Desde $T\eta A$, debemos tener la $f(T)\in A$ para todos los delimitada funciones de Borel $f$. En particular, para $n\geq 1$, $T_n=\chi_{[0,n]}(T)\in A$, y $T_n$ aumenta a $T$. Se debe tener claro cómo proceder ahora a conseguir ese $T$ es la multiplicación por una.e. mensurable definido la función.

Answer 2

No puedo responder a tus preguntas más detalladas, pero la construcción de afiliados operadores funciona a todos? La página de wikipedia parece tener una buena gama de punteros a la literatura.

Answer 3

Esta pregunta tiene al menos 3 respuestas: 1) Dada un álgebra de von Neumann M, tome su canónica L^2-espacio L^2(M), que es un espacio de Hilbert, tomar la correspondiente representación canónica de M en L^2(M) a la izquierda a través de la multiplicación y tomar el conjunto de todos los cerrados densamente definido ilimitado a los operadores afiliados con esta representación. Este conjunto es no un ring, pero cuando M es finito (ver más abajo). 2) Dada una semifinite (es decir, sólo el tipo I y el tipo II componentes están permitidos) von Neumann álgebra con un fiel semifinite traza normal τ, se puede construir una unital *-álgebra de τ medible de los operadores, que es la culminación de M en la τ-medible de la topología. Hay un canónica inyectiva mapa de el conjunto de todos los τ medible de los operadores para el conjunto de todos los afiliados a los operadores en 1), que no es surjective a menos que M es finito (sólo en el tipo I_n y II_1 componentes están permitidos). Así, en el caso finito todos los afiliados operador es τ-medible. Tenga en cuenta que en la conmutativa caso de que el unital *-álgebra de τ medible de los operadores es una adecuada subalgebra de la álgebra de todos los ilimitada de funciones, en particular, la identidad de la función en R no es τ-medibles si τ es la medida de Lebesgue en el R. 3) Si M es finito, también podemos tomar la máxima no conmutativa la localización de M con respecto a todos los elementos cuyo a la izquierda y a la derecha de apoyo es igual a 1. El objeto resultante es unital *-álgebra, que coincide con la habitual álgebra de unbounded funciones en la conmutativa (tipo I_1) caso y con el álgebra de afiliados (o τ-mensurable) de los operadores en lo finito (tipo I_n y II_1). Ver a mi pregunta sobre este tema para obtener más información. 4) Si usted está interesado sólo en L^p-espacios, entonces no es una muy buena teoría, debido a Haagerup et al. Puedo comentar más sobre esto si usted está interesado.

En resumen, la mejor opción parece ser 2), sin embargo, si usted no necesita ningún operaciones algebraicas, a continuación, 1) también funciona. Para L^p-espacios tomar 4).

Con respecto a uno de sus comentarios que yo también quiero señalar que M hace acto canónicamente en un espacio de Hilbert, es decir, L^2(M). Esta construcción es también functorial en la categoría de derecho.

Answer 4

Esta es una vieja pregunta, pero me gustaría hablar de lo que creo que es la respuesta más natural, es decir, el hecho de que podemos tomar prestado el concepto de anillos de cocientes de álgebra. En la conmutativa caso, esto es transparente: si $f$ es medible, entonces podemos expresar como el cociente de los dos acotado, funciones medibles $\frac f{1+|f|^2}$$\frac 1 {1+|f|^2}$. Por el contrario, si $f$ $g$ son acotado medible funciones y el conjunto donde $g$ se desvanece es insignificante, a continuación, $\frac f g$ es una función medible (utilizamos la costumbre descuidado la notación para hablar acerca de las clases de equivalencia de funciones medibles).

La no-conmutativa caso es, por supuesto, más delicada, pero un resultado estándar que se utiliza a menudo para extender el teorema espectral de la acotada a la ilimitada caso y que se puede encontrar en Riesz-Nagy, afirma que si $T$ es un cerrado, densamente definido, sin límites operador lineal en el espacio de Hilbert, entonces ambos $T(I+T^\ast T)^{-1}$ $(I+T^\ast T)^{-1}$ están delimitadas y $T$ es su cociente (en el más sutil sentido utilizado por operadores no acotados). Esto sugiere que una definición adecuada para una desenfrenada operador $T$ a ser asociado con una de von Neumann álgebra $\cal A$ sería para estos dos operadores a mentir en $\cal A$.

Answer 5

No es siempre el caso de que la composición de dos operadores es agradable. En general, el compuesto de $S$ $T$ está definido por $$ D(ST)=\{\xi\D(T) | T\xi\en D(S)\}. $$ No hay ninguna razón para esperar que este espacio sea densa.

Estoy de acuerdo con @Yemon. Desea que los afiliados a los operadores. He aquí un interesante paralelo para finito de medir los espacios que he escuchado en un mini-curso de Ozawa. Como $$L^\infty(X,\mu)\subset L^2(X,\mu)$$ que es un subconjunto de todas las funciones medibles, si $(M,tr)$ es de un número finito de von Neumann álgebra, $$M=L^\infty(M,tr)\subset L^2(M,tr)\subset \eta(M),$$ the affiliated operators. The inclusion for $L^2(M)$ into $\eta(M)$ es dada por $$ \xi\mapsto (L_\xi\colon m\mapsto \xi m), $$ (cuidado, usted necesita tomar el cierre de $L_\xi$. Claramente $L_\xi$ viajes con el derecho a la multiplicación por $U(M)$) y la imagen de $L^2(M)$ es el conjunto de todos los $T\in \eta(M)$ que si $$ |T|=\int t dE(t) $$ es la costumbre espectral de medir, luego $$ \int t^2 d tr(E(t)) <\infty. $$

Sobre tu comentario en respuesta a @Yemon: De hecho, el seguimiento de las obras. Si usted tiene una función positiva, indicador de uso de la functons para mostrar la traza es semi-finito y fieles (ver Takesaki yo). Lo Normal es claro. Si usted tiene una función medible $f$$(X,\mu)$, la construcción de un operador de multiplicación por dejar que $$ D(M_f)=\{\xi\en L^2(X,\mu)| f\xi \en L^2(X,\mu)\}. $$ Si $\mu$ es finito, y $f$ es un medibles, reales con valores, una.e. función finita, a continuación, $M_f$ es auto-adjunto, y el espectro es esencial el rango de $f$.

Reed y Simon tienen una buena introducción a ilimitado a los operadores, en particular, el teorema espectral.

De alguna manera, los soportes no se muestran para los conjuntos de arriba, pero espero que sea legible.