Demostrar que $S_4$ no tiene ningún subgrupo isomorfo a $Q_8$.

Question

Se trata de demostrar que $S_4$ no tiene ningún subgrupo isomorfo a $Q_8$. Aquí está la respuesta. Pero ¿qué significa "entonces $H$ también contiene todos los productos de dos ciclos de 2" en esa respuesta?

Gracias.

Answer 1

Sabemos que $H$ contiene el $4$ciclo $\sigma=(a\,b\,c\,d)$, debido a $H$ contiene todos los $4$-ciclos. El cuadrado de $\sigma$ da el doble transposición $(a\,c)(b\,d)$, que se encuentra en $H$ por el cierre de los productos. Este es un genérico doble transposición (es decir, un "producto de dos $2$-ciclos"), por lo $H$ contiene todos los dobles de transposición, es decir, $H$ contiene el Klein $4$grupo $V_4$.

Ahora $H$ contiene al menos $6$ elementos (de la $4$-ciclos), así como de $4$ nuevos elementos: los de $V_4$. Por lo tanto $\vert H \vert \geq 10 >8$, y esto es la afirmación de que el autor quiere.

Answer 2

Usted puede comprobar el argumento de cómputo. $Q_8$, el grupo de los cuaterniones orden de $8$, es el grupo SmallGroup(8,4) en la BRECHA de Pequeños Grupos de la Biblioteca. En las siguientes líneas, solicito GAP para investigar el caso:

gap> s4:=SymmetricGroup(4);;
     e:=AllSubgroups(s4);

Esto devuelve $30$ subgrupos, pero sólo tres de ellos son de orden $8$. Vamos a encontrar como sigue:

gap>  Filtered(e,t->Order(t)=8);


Group([ (1,4)(2,3), (1,3)(2,4), (3,4) ]),
Group([ (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4) ]),
Group([ (1,2)(3,4), (1,4)(2,3), (2,4) ]),

Ahora, un simple código StructureDescription(...) nos dice que los anteriores subgrupos son todos los $D_8$, no $Q_8$.