Todo cerrado $C^1$ curva en $\mathbb R^3 \setminus \{ 0 \}$ es el límite de algún $C^1$ 2-superficie $\Sigma \subset \mathbb R^3 \setminus \{ 0 \}$

Question

¿Cómo puedo demostrarlo?

Este problema se parece a El problema de la meseta - pero es mucho más específico. Creo que existe alguna prueba elemental.

(Demostrar esto me ayudará a aplicar el teorema de Stokes a otro problema)

gracias de antemano.

EDIT: Tengo una prueba que funciona en algunos casos (espero). Supongamos que $\Gamma$ es una curva de este tipo:

• Calcula el centro de masa de la curva.
• Traslada la curva por su centro de masa.
• Definir $\Sigma'=\cup_{0 \leq \lambda \leq 1} \lambda \Gamma$ , donde $\lambda \Gamma=\{ \lambda p:p \in \Gamma\}$
• $\Sigma$ será $\Sigma'$ trasladado hacia atrás por el centro de masa.

Answer 1

Como tu objetivo es aplicar el teorema de Stokes, necesitas un orientable superficie. La orientabilidad hace que el problema sea complicado, y por eso se tardó hasta 1930 en resolverlo. Tal superficie existe, en efecto, para cualquier superficie lisa $\Gamma$ se denomina Superficie de Seifert de $\Gamma$ y se puede obtener mediante Algoritmo de Seifert . Esta página tiene un dibujo esquemático de una superficie Seifert del nudo trébol; se pueden encontrar imágenes más detalladas con una búsqueda en Google; por ejemplo, Visualización de las superficies de Seifert .

Su candidato para $\Sigma'$ no es una superficie lisa a menos que $\Gamma$ es una curva plana (mira lo que pasa en el centro de masa). También puede tener problemas de autointersección.