Después de días de reflexión, de búsqueda, los debates, y las pruebas, por fin puedo responder a mi propia pregunta ahora. La respuesta es mucho más complicado de lo que yo esperaba de un "simple" XY modelo (sólo para el modelo de Ising)!
Todas las "soluciones correctas/espectro", declaró a continuación se comparan con los resultados de exacta de diagonalización.
Simplemente, no hay nada malo con la elección de señas para el fermión de energía $\varepsilon(k)$, y no importa (ni) si nos atenemos a una sola rama de $\theta_k = \arctan \xi$. El aspecto crucial a tener en cuenta (y hacer las cosas bien) es que, después de hacer el Bogoliubov transformación, el $b$-fermión vacío $|0\rangle_b$ es diferente de la $c$-fermión vacío $|0\rangle_c$, y puede tener diferentes paridad $P_0$ e ímpetu $k_0$!
Para ilustrar mi afirmación anterior, en primer lugar quisiera aclarar y arreglar mi terminología y notaciones:
- $c_j$ son el fermión operadores después de la Jordania-Wigner transformación, $c_k$ son el fermión operadores después de la transformada de Fourier, $b_k$ son el fermión operadores después de la Bogoliubov transformación.
- $a$-fermión vacío de estado se refiere a la cero partículas estado $|0\rangle_a$ aniquilado por fermión operadores de $a$'s. Este NO es necesariamente el estado fundamental del sistema.
- La paridad siempre se refiere a el operador $P \equiv \prod_j (-\sigma_j^z) = (-1)^{\sum_j c_j^\dagger c_j}$ o de sus correspondientes autovalores. Tenga en cuenta que se define en la vuelta de base, y tiene una simple representación de la $c$-fermión base, pero no necesariamente en el $b$-fermión.
- $P_0$ $k_0$ se refieren a la paridad y el impulso de un vacío.
Como se indica en la pregunta, después de la Jordania-Wigner transformación, el original espacio de Hilbert de los periódicos de tirada de la cadena se asigna en dos sectores de Fock espacio con $P=\pm 1$ (par/impar), respectivamente. El $c$-fermión vacío estados $|0\rangle_c$ en ambos sectores han$P_0=1$$k_0=0$. La transformada de Fourier respeta la paridad y el número de partículas de conservación, y no cambia el estado de vacío. Si el Hamiltoniano es ya diagonal en este Fourier base (es decir, el caso isotrópico $\eta=0$), se puede construir el espectro completo (incluyendo relación de dispersión) el uso de $n$-partícula estado $c_{k_1}^\dagger c_{k_2}^\dagger \dots c_{k_n}^\dagger |0\rangle_c$ cuya paridad y el impulso dado por $P = (-1)^n$$k = k_1 + k_2 + \dots + k_n$. Con la elección adecuada de los $n$ (par/impar) y $k$ (enteros/media-enteros) en los dos sectores, no hay más matices.
Demostración con el $\eta=0, \theta_k = \pi$ caso
Las cosas se complican con la Bogoliubov transformación, debido a que $|0\rangle_b \neq |0\rangle_c$, y el último estado tiene diferentes $P_0$$k_0$, e incluso pueden no ser el mismo en los dos sectores! Para fines de demostración, vamos a tomar el $\eta=0$ isotrópica caso, y hacer un trivial Bogoliubov transformación con $\theta_k = \pi$:
$$ c_k = i b_{-k}^\dagger, \quad c_k^\dagger = -i b_{-k}. $$
No hay nada malo con esta transformación. Sólo necesitamos ser cuidadosos acerca de la nueva vacío $|0\rangle_b$. En este caso, hay una relación simple entre los dos vacío estados:
$$ |0\rangle_b = \prod_k c_k^\dagger |0\rangle_c. $$
Esto significa que, en el $b$-fermión base:
- Si el número total de sitios de $N$ es incluso, $P_0=1$ en ambos sectores, $k_0 = 0$ o $\pi/2$ en la paridad par/impar sector, respectivamente.
- Si el número total de sitios de $N$ es impar, $P_0=-1$ en ambos sectores, $k_0 = \pi/2$ o $0$ en la paridad par/impar sector, respectivamente.
La paridad y el impulso de un estado con $n$ $b$-fermiones está dado por $P = (-1)^n P_0$$k = k_0 + k_1 + \dots + k_n$. El uso de estas fórmulas y la elección del $P$ $k$'s en los dos sectores, todavía puedo construir el espectro correcto y la relación de dispersión con $\theta_k = \pi$.
La discusión sobre el caso general
El principio es el mismo que en el caso general ($\eta \neq 0$). Todo lo que tenemos que hacer es determinar $P_0$ $k_0$ $|0\rangle_b$ en los dos sectores, y el uso de $P = (-1)^n P_0$ $k = k_0 + k_1 + \dots + k_n$ a determinar la paridad y el impulso de un $n$ $b$-fermión estado. Sin embargo, la determinación del $P_0$ $k_0$ se convierte en algo muy trivial, porque no hay una relación simple entre el $|0\rangle_b$ $|0\rangle_c$ al $\eta \neq 0$ (sin embargo, ver referencia al final).
Como calcular correctamente en @cesaruliana la respuesta, tenemos
$$ \tan\theta_k = \frac{ \eta \sin(ka)}{ g - \cos(ka)}, $$
todas las ramas de $\theta_k = \arctan\xi$ dar validez transformaciones, pero no es obvio que una(s) es la más útil. Nuestro objetivo es encontrar a $P_0$ $k_0$ de la tierra del estado. Una de las estrategias que podemos usar es la elección de
$$ \cos \theta_k = \frac{ g - \cos(ka) }{ \sqrt{ (g-\cos(ka))^2 + \eta^2 \sin^2(ka)} },
\quad
\sin \theta_k = \frac{ \eta \sin(ka) }{ \sqrt{ (g-\cos(ka))^2 + \eta^2 \sin^2(ka)} }, $$
por lo tanto, haciendo todo el single $b$-fermión energías positivas:
$$ \varepsilon(k) = +2J \sqrt{ (g-\cos(ka))^2 + \eta^2 \sin^2(ka)}. $$
Ahora el vacío de estado $|0\rangle_b$ es el estado del suelo de las $b$-fermión sistema, por lo que el estado fundamental (de la fermión o el sistema de espín) mucho más fáciles de rastrear. A continuación, analizamos el estado de la vuelta de tuerca original modelo en diferentes límites.
Por ejemplo, en el Ising campo débil límite
$ H = -J \sum \sigma_j^z \sigma_{j+1}^z, $
hay dos degenerados de tierra de los estados con relación a las paridades:$ |\pm\rangle = \prod_j \left| \leftarrow \right>_j \pm \prod_j \left| \rightarrow \right>_j$, $ P |\pm \rangle = \pm | \pm \rangle$ y ambos tienen el ímpetu $k_0=0$. Se nota que esta degeneración es la característica de una ruptura de la simetría de fase. Así que, hasta que una transición de fase se produce (en $g=1$ o $\eta=1$), el dos veces la degeneración debe estar siempre presente y exacta, y el número cuántico $P$ $k$ de los dos estados fundamentales debe ser invariable. Tener tal ("robusta") dos veces la degeneración de todos los valores de $0\leq g\leq 1$$0\leq \eta \leq 1$, los dos de tierra de los estados deben ser los dos al vacío estados $|0\rangle_b$ de los dos sectores. Esto significa que, para $0 \leq g\leq 1$, $0 \leq \eta \leq 1$, $P_0 = + 1$ en la paridad incluso del sector y $P_0 = -1$ en la paridad impar sector, y $k_0=0$ para ambos sectores.
Por lo tanto, en ambos sectores, sólo los estados con un número de $b$-fermiones deben ser incluidos en la final del espectro.
El espectro correcto es, de hecho, construido a partir de esta construcción.
$P_0$ $k_0$ puede cambiar después de una fase de transición. Similar análisis debe ser hecho de nuevo en otras fases.
El error que hacía era que me calcula la paridad y el impulso ingenuamente el uso de $b$-fermiones, siempre tomando en cuenta los estados con pares/impares número de $b$-fermiones en la paridad par/impar sector, esencialmente, siempre asumiendo $P_0=1, k_0=0$. Esto NO es cierto en general.
Agradecimientos y referencias
Me gustaría agradecer a mis compañeros de la estudiante Wen Wei muy útil para la discusión. Él descubrió que la solución correcta puede ser construido si tomamos el número de partículas en ambos sectores en la ruptura de la simetría de fase. Una muy útil la nota escrita por el Prof. Andreas Schadschneider y el Prof. Götz S. Uhrig que finalmente se resuelva en la confusión que se puede encontrar aquí:
Fuertemente Correlacionada de los Sistemas en la Física del Estado Sólido
Actualización: Después de que envió esta respuesta, me encontré con otro de referencia (tesis de master) por Erik Eriksson donde él rigurosamente calculado en detalle la relación entre el $|0\rangle_b$ ("Bogoliubov vacío") y $|0\rangle_c$ en el caso del modelo de Ising $\eta=1$. Creo que esta puede ser fácilmente generalizado para el caso de $\eta < 1$. Su tesis se puede encontrar aquí:
Quantum Transiciones de Fase en un Integrable unidimensional Spin Modelo
