Fuerzas de Casimir debidas al campo escalar mediante integrales de trayectoria

Question

Acabo de empezar a aprender QFT. Acabo de completar los campos escalares, que aprendí utilizando la cuantificación canónica y las integrales de trayectoria. Hice el cálculo de la fuerza de Casimir entre dos placas metálicas utilizando sólo la teoría de campos escalares libres (utilizando la energía del vacío). Sin embargo, no soy capaz de encontrar una manera de hacer esto usando integrales de trayectoria y propagadores. La función de partición para el caso del campo escalar libre (es decir, el campo KG) resulta ser,

$$ Z[J] = \text{exp}\bigg(i\int \mathrm d^4x \;\mathrm d^4x'J(x')\Delta_F(x-x') J(x) \bigg) \qquad \qquad (1) $$

que después de fijar el $Z[J=0] =1$ . Deseo saber, cómo enfocar mi problema desde aquí.

PS : Todavía no he aprendido los campos vectoriales o espinores. La mayoría de las referencias o apuntes que consulté daban por supuesto un conocimiento previo de ello o no decían cómo cuantificar los campos escalares.

EDIT : Esta es la integral para empezar bien $$ Z[J] = \frac{1}{Z_0} \int [d \phi] \text{exp}\bigg(-i\int d^4x \bigg[ \frac{1}{2}\phi (\Box + m^2 - i\epsilon)\phi - \phi J\bigg]\bigg) $$

Todo lo que hice fue introducir $\phi \rightarrow \phi + \phi_0 $ y exigir que

$$ (\Box + m^2 - i\epsilon)\phi_0 = J(x) $$ y $\Delta_F(x-x') $ es la función de Green que interviene en la resolución de esta ecuación.

Entonces obtengo la ecuación (1).

Answer 1

Lo que yo haría es calcular la acción efectiva a partir de integrar en un bucle el propagador en un espacio con fronteras. El resultado es bastante sencillo, esquemáticamente de la forma $\mathrm{Tr}\log \Delta$ donde $\Delta(x_1,x_2)$ es el propagador en el espacio de posición. En efecto, la acción libre es cuadrática en el campo, $ S\sim -\frac{1}{2}\phi(\partial^2-m^2)\phi$ lo que hace que la integral de la trayectoria sea gaussiana y, por tanto, calculable explícitamente. Dado que $\Delta$ dependerá de la geometría de su espacio, digamos la distancia $L$ entre dos planos paralelos, obtendrás que la energía del vacío depende también de dicha separación. Al restar la derivada respecto a L se obtiene la fuerza. Por supuesto, es necesario haber calculado cuál es el propagador en dicho espacio no trivial, resolviendo, por ejemplo, las ecuaciones de Klein-Gordon con condiciones de contorno en $y=L$ y $y=0$ , $y$ siendo las coordenadas ortogonales a las placas . Este no es el propagador habitual de Feynman debido a las condiciones de contorno no triviales (lejos de la frontera se debería recuperar Feynman). Obsérvese también que la acción efectiva será divergente en la UV (por lo que habrá que regularizar la traza anterior) pero su derivada respecto a $L$ la fuerza, es finita y calculable.