demostrar la desigualdad de $\triangle\leq \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)\cdot abc}$

Question

Si $\triangle$ ser el área de $\triangle ABC$ con longitudes de lado $a,b,c$. A continuación, mostrar que $\displaystyle \triangle\leq \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)\cdot abc}$

y también mostrar que la igualdad se mantenga si $a=b=c$.

$\bf{My\; Try}::$ Aquí tenemos que demostrar $4\triangle\leq \sqrt{(a+b+c)\cdot abc}$

El uso de la fórmula $$\triangle = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$, where $$2s=(a+b+c)$$

Por lo $$4\triangle = \sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}=\sqrt{(a+b+c)\cdot(b+c-a)\cdot(c+a-b)\cdot(a+b-c)}$$

Ahora el uso de $\bf{A.M\geq G.M}$ $(b+c-a)\;,(c+a-b)\;,(a+b-c)>0$

$$\displaystyle \frac{(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)}{3}\geq \sqrt[3]{(b+c-a)\cdot(c+a-b)\cdot(a+b-c)}$$

Así, obtenemos $\displaystyle (a+b+c)\geq 3\sqrt[3]{(b+c-a)\cdot(c+a-b)\cdot(a+b-c)}$

Pero no entiendo cómo puedo probar por encima de la desigualdad

ayuda Requerida

Gracias

Answer 1

Ayuda para escribir lo que quieres demostrar:

$$(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) \le abc$$

Se puede ver la parte izquierda de la expresión como una media geométrica, pero la sustitución por una media aritmética no funciona debido a que el resultado de la desigualdad es un AM-GM de la desigualdad en la dirección incorrecta, entonces usted necesita para intentar algo más.

Hay muchas maneras de proceder, pero una buena rutina primer paso es la sustitución de un producto que reemplaza $a, b, c$ que están vinculados por el triángulo de las desigualdades con $2x=b+c-a$, $2y=c+a-b$, $2z=a+b-c$ que son simplemente números positivos.

El deseado de la desigualdad se convierte en:

$$8xyz \le (y+z)(x+z)(x+y).$$

Pero esto es simplemente un producto de tres AM-GM desigualdades:

$$\sqrt{yz}\sqrt{xz}\sqrt{xy}\le \frac{y+z}2\frac{x+z}2\frac{x+y}2.$$

Así que todo lo que está probado.

Alternativamente, si usted no lo ve, usted puede simplemente expandir el producto y aplicar una AM-GM de la desigualdad a los 8 términos.

Answer 2

Para un triángulo

$\Delta = \frac{abc}{4R} = rs$

Ahora en su desigualdad usted puede poner en los valores para obtener

$R \ge 2r$

Esto se conoce para ser cierto ya que la distancia entre incentre y circumcentre $d^2 = R(R-2r)$

Por lo tanto su desigualdad está demostrado

Answer 3

Gracias mathlove,phira,y el usuario de la solución.

Mi ser para $(b+c-a)\cdot(c+a-b)\cdot(a+b-c)\leq abc$ donde $a,b,c$ son los lados de un $\triangle$.

El uso de $\;\;\;\; \{b+(c-a)\}\cdot \{b-(c-a)\} = b^2-(c-a)^2\leq b^2$

del mismo modo $ \{c+(a-b)\}\cdot \{c-(a-b)\} = c^2-(a-b)^2\leq c^2$

del mismo modo $\{a+(b-c)\}\cdot \{a-(b-c)\} = a^2-(b-c)^2\leq a^2$

Multimply estas tres ecuaciones obtenemos $(b+c-a)\cdot(c+a-b)\cdot(a+b-c)\leq abc$

y la igualdad se mantenga al $a=b=c$

Answer 4

Sabemos $$S=\frac{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{4}.$$

Así que, todo lo que necesitamos es demostrar el siguiente : $$(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\le abc.$$

Este es un conocido de la desigualdad. La prueba está aquí.