Dejemos que $F$ sea un campo y $A$ ser un $F$ -álgebra simple central de grado $n$ . Sea $0< k< n$ y que $SB_k(A)$ denotan la variedad Severi-Brauer generalizada: si $E/F$ es una extensión de campo, $SB_k(A)(E)$ consiste en los ideales de la derecha de dimensión $kn$ de $A_E=A\otimes_F E$ .
Si $A$ está dividido, es decir $A\simeq M_n(F)$ entonces $SB_k(A)=Gr(k,n)$ El Grassmanniano.
¿Es cierto lo contrario? Si no es así, ¿puede dar un contraejemplo?
El resultado es verdadero si $k=1$ ya que $SB_k(A)$ tiene un punto racional sobre $F$ si el índice de $A$ divide $k$ y los grassmanianos tienen puntos racionales sobre $F$ .
He enviado la pregunta a MO: https://mathoverflow.net/questions/153150/when-are-generalized-severi-brauer-varieties-grassmannians
