Los valores intermedios de $p$-normas

Question

Deje $x,y \in [0,1]^n$ $n$ dimensiones de los vectores con elementos en el conjunto continuo $[0,1]$.

Supongamos que tenemos las siguientes condiciones:

1) $\Vert x\Vert_1 = \Vert y \Vert_1=1$ ,

2) $\Vert x\Vert_2 \geq \Vert y \Vert_2$ ,

3) $\Vert x\Vert_\infty \geq \Vert y \Vert_\infty$,

donde $\Vert x\Vert_\alpha := \left( \sum x_i^\alpha\right)^{1/\alpha}.$

Podemos deducir la siguiente: $\Vert x\Vert_\alpha \geq \Vert y \Vert_\alpha$ todos los $\alpha>1$?

Answer 1

Para ver que esto es un poco demasiado optimista, imaginar dos vectores $x$ $y$ que tienen el mismo 1-norma, la misma 2-norma, y de la misma $\infty$-norma. Si su conjetura era cierto, que tendrían el mismo $\alpha$-norma para cada $\alpha$, lo cual es imposible sin ellos siendo el mismo. Para un ejemplo concreto, tomar

$$x=(10,2,2,0),\qquad y=(10,1,(3+\sqrt{5})/2, (3-\sqrt{5})/2)$$ que satisfacer

• $\|x\|_1=\|y\|_1 = 14$,
• $\|x\|_2=\|y\|_2 = \sqrt{108}$,
• $\|x\|_\infty=\|y\|_\infty = 10$

Estos tendrán diferentes $3$-normas, por ejemplo, ( $1016^{1/3}$ $1019^{1/3}$ , para ser más específico). Que puede ser normalizada para tener 1-norma igual a $1$, solo hay que dividir por 14 si lo deseas.

Answer 2

No.

Un ejemplo contrario es:

$$x = \left[0.354019 \quad 0.162424 \quad 0.302226 \quad 0.145733 \quad 0.035598\right]$$ $$y = \left[0.137069\quad 0.065747\quad 0.327494 \quad 0.346246\quad 0.123444\right]$$ $$p = 8 .$$

I wrote the following Matlab script to prepare vectors in the required form. I then loop over different values of $p$ at the end to check if I can find vectors that do not conform to $\Vert x \Vert_p \geq \Vert y \Vert_p$.

clear all n = 5; p = 2; count = 0;trial = 1000; for i = 1:trial x(i,:) = exprnd(1,1,n); x(i,:) = x(i,:)/norm(x(i,:),1); y(i,:) = exprnd(1,1,n); y(i,:) = y(i,:)/norm(y(i,:),1); if max(x(i,:)) < max(y(i,:)) temp = y(i,:); y(i,:) = x(i,:); x(i,:) = temp; end if norm(x(i,:),2) > norm(y(i,:),2) count = count +1; x1(count,:) = x(i,:); y1(count,:) = y(i,:); end end for p = 1.1:0.1:10 for i = 1:count if norm(x1(i,:),p) < norm(y1(i,:),p) norm(x1(i,:),p) < norm(y1(i,:),p) p end