Si usted piensa acerca de lo que realmente profundo, los axiomas son realmente las características del modelo que queremos trabajar.
El modelo de la teoría de los anillos es un campo si satisface los axiomas de un campo, que requieren no sólo a ser un anillo - pero para ser un anillo conmutativo, sin divisores de cero y que todo elemento distinto de cero es una unidad.
El modelo de la teoría de los campos es algebraicamente cerrado si se cumple la "clausura" axioma, es decir cada fórmula polinómica tiene una solución en el campo.
El modelo de ZF, $V$, es un modelo de ZFC si también satisface el axioma de elección, que cada familia de conjuntos no vacíos en el modelo tiene una función de elección.
Si usted realmente piensa acerca de estas cosas, todos los teoremas de partida con "Let $x$ ser este objeto, con tales y tales propiedades. A continuación, $x$ propiedad $\tau$." es realmente sólo para decir que si $x$ es un modelo de la teoría que hemos usado, pero es también un modelo de tales y tales otros axiomas, entonces es un modelo para la frase $\tau$.
Por tanto, decir que $X$ satisface la segunda countability axioma, o $T_3$ separación axioma es simplemente para decir que adhieren a la teoría de los dos más axiomas y que $X$ es un modelo de los más grandes de la teoría y no sólo de la teoría original (topológicas del espacio).
Me explicó una vez a alguien que si alguno posee propiedad, a continuación, podemos probar que el axioma de elección, él estaba muy desconcertado por el hecho de que podemos "ser un axioma", pero esto es realmente todo lo que hacemos. Hemos de probar que una propiedad se sigue de la otra, o es equivalente a otro, y que en realidad decir "Este axioma es consistente con los anteriores".
Añadió: ¿Qué es un modelo? Vamos a empezar con un idioma, en el idioma, tenemos todas las cosas que queremos tener: funciones, relaciones, constantes, etc.
Ahora podemos interpretar este lenguaje en una estructura. La estructura es en realidad un conjunto no vacío con la adición de que se especifique cómo interpretar cada uno de los símbolos de la lengua (esta constante es este elemento; este predicado es este subconjunto; etc.).
Por ejemplo, podemos interpretar el lenguaje con un único binario relación como $\subseteq$ en el juego de poder de $X$; o como $\le$ en los números reales, aquellos que son obviamente muy diferentes maneras de entender el mismo idioma.
En el lenguaje de podemos escribir instrucciones. Nos deja ignorar por el momento de la primera/segunda/la lógica de orden superior, y que nos permiten escribir casi cualquier cosa. Podemos entonces escribir "Cada una de las colecciones de vacío de relaciones tiene una función que elige los elementos de tal manera que estos elementos tienen tales y tales propiedades con dichas relaciones", o podemos escribir "Hay un elemento que tiene una cierta propiedad".
Ahora consideremos la situación que tenemos un idioma, y tenemos una interpretación de este lenguaje, y esta estructura es tal que una declaración es verdadera, entonces decimos que es un modelo para esa instrucción.
Así que en breve (después de toda esta larga introducción) un modelo para una teoría es sólo una estructura en la que todos los enunciados de la teoría es verdadera.
