"Natural" es un ejemplo de cosets

Question

¿Sabes natural/de hormigón/atractiva ejemplos de derecha/izquierda cosets en la teoría de grupo ?

Esta noción es una herramienta poderosa, pero también una muy abstracta uno para principiantes así que esta es la razón por la que estoy buscando amable ejemplos.

Answer 1

El avión $\mathbb{R}^2$ es un grupo en adición, y el $x$eje $\{(a,0)\colon a\in\mathbb{R}\}$ es un subgrupo de. A continuación, las líneas paralelas a $x$-eje son precisamente los cosets de este subgrupo.

En lugar de $x$-eje, que puede tomar cualquier línea a través del origen; será un subgrupo, y las líneas paralelas se cosets.

Del mismo modo, $\mathbb{C}^*=\mathbb{C}-\{0\}$ es un grupo bajo la multiplicación; creo que es como un pinchazo en un avión. A continuación, $S^1=\{z\in\mathbb{C}\colon |z|=1\}$ es un subgrupo, que es un círculo con centro el origen y radio de $1$. Su cosets son círculos concéntricos a $S^1$.

Answer 2

Probablemente, el ejemplo de la mayoría de los estudiantes se encuentra el más familiar es el conjunto de cosets de los enteros modulo algunos fijos entero.

Así que para un entero $n$, los cosets del subgrupo $n\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ se compone de un subconjunto de la forma $[a] = \{x\in \mathbb{Z}\mid x\equiv a \pmod n\}$ y si tomamos uno para cada una de las $a$ $0\leq a\leq n-1$ luego de obtener toda la cosets.

Answer 3

Las soluciones de un sistema lineal $Ax=b$ formar un coset del espacio nulo de a $A$.

Answer 4

Todos hemos conocido acerca de los enteros módulo los números enteros desde que eran jóvenes: un entero impar más un entero par, o un entero par más un entero impar es impar, la suma de dos enteros impares o dos números enteros es aún.

Answer 5

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Intgr}{\mathbf{Z}}$Si $\Lambda = \Intgr^{2}$ es el número entero de celosía, $G = \Reals^{2}/\Intgr^{2}$ es el correspondiente toro, y $H$ es la imagen de una línea (a través de el origen de las $\Reals^{2}$) que tiene racional de la pendiente, a continuación, $H$ es un toro nudo, y su coets (se traduce en $G$) de fibra de $G$.

Si en lugar de $H$ es la imagen de una línea de irracional de la pendiente, es decir, un sistema irracional de liquidación, el complemento de a $H$ es topológicamente conectado, pero tiene una cantidad no numerable de componentes de la ruta (es decir, consta de un incontable discontinuo de la unión de cosets de $H$). El espacio de los componentes de la trayectoria, es decir, el espacio de cosets de $H$$G$, tiene la estructura de un innumerable conjunto, comparar 2000 de la respuesta.