LCM de irrationals

Question

Así, recientemente se me pidió por un amigo sobre el mcm de dos números irracionales.

Hasta donde yo sé, matemáticamente hablando, lcm es generalmente definido solo para enteros positivos (y a veces se extiende a los números enteros negativos y también incluso racionales).

Pero nunca he oído hablar de que se extienda a irrationals. Pero mi amigo sostiene que la lcm de irrationals se define (en general).

Me da un ejemplo: $\textrm{lcm}(e,2e)=2e$ donde $e$ es la irracional Napier constante.

Creo que él está equivocado. Todavía quiero escuchar las opiniones de otras personas sobre esto. ¿Ustedes qué piensan, compañeros MSE usuarios?

Answer 1

Los antiguos Griegos sabían de esto. Encontrar un mínimo común (entero) múltiplo de dos números positivos es esencialmente el mismo problema como la búsqueda del máximo común divisor (si $\zeta$ es un g.c.d de $\xi$$\eta$, $(\xi\eta)/\zeta$ es una l.c.m.). Los Griegos comprendieron que el mayor de los divisores comunes existen para algunos $\xi$$\eta$, pero no para todos los $\xi$$\eta$. Llamaron $\xi$ $\eta$ conmensurables si tienen un máximo común divisor: diríamos que $\xi$ $\eta$ son conmensurables si $\xi/\eta$ es racional.

El algoritmo de euclides funciona perfectamente bien para dos arbitraria de números reales positivos $\xi$$\eta$. A partir de un moderno punto de vista, llevar a cabo la aritmética en el ring $\mathbb{Z}[\xi, \eta]$. Si el algoritmo termina, se encuentra el máximo común divisor: el mayor $\zeta$ tal que $\xi$ $\eta$ ambos son múltiplos enteros de $\zeta$.

Cuál debería ser mucho más conocida es que los Griegos estudiaron el caso cuando el algoritmo no terminar: Euclid de la Proposición X. 2 da que no sean de terminación del algoritmo como una condición necesaria y suficiente para la irracionalidad de la $\xi/\eta$.

Answer 2

Me gustaría escribir acerca de un l.c.m. de dos números irracionales sólo si (1) no lo dicen explícitamente qué me refiero con el término en lugar de asumir que el lector conozca, o (2) estoy escribiendo en algún contexto en el que es legítimo esperar que el lector piense acerca de lo que el término debería significar.

El número más pequeño que puede ser escrito como $n\Big(4\sqrt2\Big)=m\Big(6\sqrt2\Big)$ donde $n$ $m$ son enteros positivos es $12\sqrt2$, por lo que se podría decir que es el l.c.m. de $4\sqrt2$$6\sqrt2$. Uno puede escribir un sensible definición de l.c.m. así que la pregunta de cuál es el $\operatorname{lcm}\left(4\sqrt2,6\sqrt2\right)$ tiene sentido, pero me gustaría prestar atención a lo expuesto en el párrafo anterior, dice.

Nota, sin embargo, que en ese sentido, $\operatorname{lcm}(a,b)$ sólo existirá si $a/b$ es racional y positivo.