Putnam problema del día, las raíces de un polinomio

Question

He estado últimamente divertirse con algunos de Putnam problemas (http://www.math.harvard.edu/putnam/) y me gustaría ver cómo hoy el problema puede ser resuelto y para alguien más experimentado para comprobar mi intento de solución.

Encontrar todos los polinomios $p(x)$ grado $n \geq 2$ para los que exista números reales $ r_1 < r_2 < ... < r_n$ tal que

1. $p(r_i) = 0$, $i = 1,2,...,n,$ y
2. $p'(\frac{r_i + r_{i+1}}{2}) = 0$, $i = 1,2,...,n-1$,

donde $p'(x)$ denota la derivada de $p(x)$

(sucio) intento que implican la comprobación de los coeficientes;

Cualquier polinomio de grado $n$, con raíces en la $r_1, r_2, ...,r_n$ tendrá la siguiente forma:

$p(x) = c(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_n)$

La expansión de este debemos conseguir que el coeficiente de $x^{n-1}$ es:

$-c(r_1 + r_2 + ... + r_n)$.

Esto implicaría que el coeficiente de $x^{n-2}$ (de los monic equivalente) derivado $p'(x)$ es:

$\frac{(1-n)}{n}(r_1 + r_2 + ... + r_n)$ (1)

Así que la derivada de la función debe tener el mismo coeficiente delante de $x^{n-2}$, y a partir de la descripción de conseguir que se supone debe tener el siguiente formulario:

$p'(x) = (x-\frac{r_1 + r_2}{2}) (x-\frac{r_2 + r_3}{2})... (x-\frac{r_n-1 + r_n}{2})$

La expansión de este producirá $x^{n-2}$ plazo con el siguiente coeficiente:

$-(\frac{r_1}{2} + r_2 + r_3 + ... + r_{n-1} + \frac{r_n}{2})$ (2)

Mediante la inspección de las ecuaciones (1) y (2) vemos que son iguales en el caso de $n = 2$ y nunca más. Así que la respuesta sería el conjunto de polinomios de grado 2?

(por cierto, ¿cómo puedo hacer que la numeración de la ecuación se ven bien? :))

Answer 1

He aquí otro intento :

Debido a $p$ es de grado $n$ e ha $n$ distintas raíces, podemos escribir

$$p(x) = \lambda \prod_{i = 1}^n (x-r_i)$$

Mediante la diferenciación, hemos

$$\frac{p'(x)}{p(x)} = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{x-r_i}$$

Y establecimiento $x = \frac{r_1+r_2}{2}$, obtenemos

$$0 = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{\frac{r_1+r_2}{2}-r_i}$$

Observe los dos primeros términos de cancelar, lo que deja

$$0 = \sum_{i = 3}^n \frac{1}{\frac{r_1+r_2}{2}-r_i}$$

Pero si asumimos $n > 2$, ya que para $i > 2$, $r_i > r_2 > \frac{r_1+r_2}{2}$ obtendríamos

$$\sum_{i = 3}^n \frac{1}{\frac{r_1+r_2}{2}-r_i} < 0$$

Así que la única polinomios que, posiblemente, puede satisfacer sus condiciones son de grado $2$ polinomio con positivo discriminante (y que todo el trabajo).

Answer 2

No creo que se puede concluir de lo que usted piensa que usted puede concluir. Se le da $$ p(x) \propto \prod_{i=1}^{n} (x-r_i) $$ y $$ p^{\prime}(x) \propto \prod_{i=1}^{n-1} \left(x - \frac{r_i + r_{i+1}}{2}\right), $$ puesto que todas las raíces de cada polinomio son contabilizadas. Mediante la diferenciación de la primera ecuación tiene $$ p^{\prime}(x) \propto nx^{n-1} - (n-1)\left(\sum_{i}r_i\right) x^{n-2} + O(x^{n-3}), $$ y por la inspección de la segunda ecuación tiene $$ p^{\prime}(x) \propto x^{n-1} - \left(\frac{r_1}{2} + r_2 + \dots + r_{n-1} + \frac{r_{n}}{2}\right)x^{n-2} + O(x^{n-3}). $$ Creo que todo lo que se puede concluir al comparar los coeficientes de la $x^{n-2}$ términos es que $$ \frac{n-1}{n}\sum_{i}r_i = \sum_{i}r_i - \frac{1}{2}(r_1 + r_n), $$ o que $$ r_1 + r_n = \frac{2}{n}\sum_{i}r_i = \frac{2}{n-2}\sum_{1<i<n}r_i $$ para $n>2$ (y la ecuación es satisfecho automáticamente para $n=2$, independientemente de $r_1$$r_2$).