Picard Recorre Convergen Uniformemente

Question

Tengo una pregunta de la tarea que se le pide demostrar que la recorre Picard $$ \phi_{n+1}(t) = \int_0^t 1 + \phi_n^2(s) \, ds, \quad \quad \phi_0(t) = 0 $$ converge uniformemente en cualquier intervalo compacto $[-r, r] \subseteq (- \pi/2, \pi/2)$.

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Yo estaba pensando acerca de constatar el hecho de que aquellos Picard recorre representar el problema de valor inicial $$ x' = 1 + x^2 = f(x), \quad \quad x(0) = 0, $$ cuya solución es, por supuesto,$x(t) = \tan(t)$. Es decir, $$ \phi_{n+1}(t) = \int_0^t f(\phi_n(s)) \, ds, \quad \quad \phi_0(t) = 0. $$ A continuación, utilice el hecho de que $f$ es de Lipschitz en cualquier intervalo compacto para obtener un obligado $$ \| \phi_{n+1} - \phi_n \| \leq K \| \phi_n - \phi_{n-1} \| $$ para algunas constantes $K$ (donde $\| \cdot \|$ es el sup norma). Entonces yo podría enlazado $ \| \phi_n - \phi_m \|$ y muestran que $\{ \phi_i \}$ es una secuencia de Cauchy y me gustaría hacer. Sin embargo, creo $K$ tiene que ser menos de $1$ para que el argumento funcione y no creo que pueda demostrar que. También, ese argumento no toma en cuenta la restricción $[-r, r] \subseteq (- \pi/2, \pi/2)$, sólo el hecho de que $f$ es de Lipschitz en cualquier intervalo compacto.

Agradecería un empujón en la dirección correcta.

Answer 1

Este es un muy elegante problema. (Se soluciona, si recuerdo bien, en Fritz John Odas, Courant Institute Notas de la Conferencia.)

Las sugerencias. Es fácil mostrar de forma inductiva que $$ 0\le \varphi_n(t)\le \varphi_{n+1}(t)\le\bronceado t,\quad \text{para}\,\, t\[0,\pi/2), $$ y $$ 0\ge \varphi_n(t)\ge \varphi_{n+1}(t)\ge\bronceado t,\quad \text{para}\,\, t\(- \pi/2,0]. $$ A continuación utilizar el hecho de que: Si $K$ compacto y $\psi_n:K\to\mathbb R$, $n\in\mathbb N$, una monótona y acotada de la secuencia, a continuación, $\{\psi_n\}_{n\in\mathbb N}$ uniformemente convergente. (Este es el Teorema 7.13, página 150, en W. Rudin los Principios de Análisis Matemático.)

Por lo tanto $\{\varphi_n\}_{n\in\mathbb N}$ converge uniformemente en cada subconjunto compacto de $(-\pi/2,\pi/2)$.

Nota. De Lipschitz continuidad no ha sido usado!

Answer 2

Queremos que el mapa

$$h(g)(t) = \int_0^t f(g(s)) ds$$

para ser una contracción en un subconjunto apropiado de $(C[-T,T],\| \cdot \|_\infty)$ donde $T>0$. Para conseguir esto, tenga en cuenta que $f$ es de Lipschitz en cualquier intervalo compacto con constante de Lipschitz $L$. En particular, es de Lipschitz en $[-M,M]$$L=2M$. (Por qué?) Por lo tanto, dado un valor de $T$ hemos

$$\| h(g_1) - h(g_2) \|_\infty \leq L T \| g_1 - g_2 \|_\infty$$

Por lo $h$ es una contracción si $T<1/L$. Por lo tanto si $|g_1|,|g_2|$ se encuentran en la mayoría de los $M$$[-T,T]$, entonces esta es una contracción si $T<1/(2M)$.

Ahora no sabemos a priori qué rapidez la solución de $x$ crece, por lo que no necesariamente podemos calcular el $L(T)$ con el fin de encontrar un valor adecuado de $T$. (Podríamos si $f$ fueron globalmente Lipschitz, pero no lo es.) Pero no necesitamos. En lugar de ello, se obtiene un intervalo de $[-T_1,T_1]$ $T_1>0$ donde todo está OK. A continuación, consideramos Picard iteración en el mismo ODA con la condición inicial $(T_1,x(T_1))$. Esto nos da un $T_2$, lo que nos permite ampliar a un nuevo IVP con condición inicial $(T_2,x(T_2))$, y así el proceso se repite.

Para hacer este formales, demostrar por inducción que, dado cualquier intervalo de $[-T_n,T_n]$ donde tenemos una solución, siempre podemos obtener $[-T_{n+1},T_{n+1}] \supset [-T_n,T_n]$ donde también tenemos una solución. Entonces tenemos una solución en $\bigcup_{n=1}^\infty [-T_n,T_n]$. Ahora intenta demostrar que esta unión debe ser necesariamente todos los de $(-\pi/2,\pi/2)$. (Sugerencia: si no fuera, a continuación, $x$ no explote en el final, y podríamos seguir a un dominio más grande. ¿Por qué es esto imposible?)

Si usted tiene alguna preocupación acerca de la uniformidad con varios de estos intervalos, se nota que hay sólo un número finito de contenidos en cualquier particular, $[-r,r]$ donde tenemos una solución, así que podemos aprovechar $N$, como máximo, de un número finito de $N_k$ que se da en cada pieza.