¿Cómo podemos mostrar la convergencia de $x_n = \sin(2\pi (n^3-n^2+1)^{\frac{1}{3}})$?

Question

Mostrar que la secuencia de $(x_n)_{n\geq 1}$ definido por $$x_n = \sin(2\pi (n^3-n^2+1)^{\frac{1}{3}})$$ converge y calcular su límite.

Answer 1

Tenemos $$ 2\pi\sqrt[3]{n^3-n^2+1}=2\pi n\sqrt[3]{1-1/n+1/n^3}. $$

Ahora uso $(1+u)^\alpha=1+\alpha u+O(u^2)$ $u$ enfoques $0$, para obtener: $$ 2\pi n\sqrt[3]{1-1/n+1/n^3}=2\pi n\left(1-\frac{1}{3n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)=2\pi n-\frac{2\pi}{3}+O\left(\frac{1}{n}\right) $$

Entonces $$ x_n=\sin\left(2\pi n-\frac{2\pi}{3}+O\left(\frac{1}{n}\right) \right)=\sin\left(-\frac{2\pi}{3}+O\left(\frac{1}{n}\right) \right) $$ por lo que el límite es $$ \sin(-2\pi/3)=-\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Answer 2

Huele como un fácil de secundaria pregunta $$\lim_{n\to\infty}\sin(2\pi (\sqrt[3]{n^3-n^2+1}-n)+2\pi n)=$$ $$\lim_{n\to\infty}\sin(2\pi (\sqrt[3]{n^3-n^2+1}-n))=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ porque $$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{x^3-x+1}-1}{x}=\lim_{x\to0} \frac{3x^2-1}{3(x^3-x+1)^{2/3}}=-\frac{1}{3}$$ por el lindo de l'Hôpital de la regla y, a continuación, $$\lim_{n\to\infty} (\sqrt[3]{n^3-n^2+1}-n)=-\frac{1}{3}$$ $$\sin \left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Chris.