Cualquiera de los dos $1$formas de $\alpha$, $\alpha'$ con la propiedad de satisfacer $\alpha = f\alpha'$ para algunos liso ningún lugar la función cero $f$?

Question

Esta es una pregunta de seguimiento para aquí.

Deje $M$ ser un cerrado $3$-colector, y deje $\xi$ $2$- dimensiones subbundle de $TM$. Hay un lugar cero $1$forma $\alpha$ $M$ $\alpha(X) = 0$ para cualquier campo vectorial $X$ que es una sección de $\xi$?

De lo anterior se sigue que cualquiera de los dos $1$formas de $\alpha$, $\alpha'$ con esta propiedad satisfacer $\alpha = f\alpha'$ para algunos liso ningún lugar la función cero $f$?

Answer 1

Sí. Dicho de una 1-forma es la misma, como una sección de $N(\xi)^*$ (como en, una sección de $N(\xi)^*$ canónicamente da una 1-forma y viceversa). Equivalentemente, estoy diciendo "elija una línea complementaria de paquete; $\alpha$ está determinado por su valor en esa línea, el paquete." Por la hipótesis de la existencia de su $\alpha$ a todos (como en la pregunta anterior), el paquete es trivial. Así que las secciones son canónicamente identificado con las funciones lisas, y su pregunta es: "Dadas dos nonvanishing las funciones lisas $\alpha, \alpha'$, hay una función suave $f$$\alpha = f\alpha'$? Por supuesto, la respuesta es sí: $f=\alpha/\alpha'$.