En los revestimientos de la esfera de la complejidad

Question

Aquí, todo lo que tiene lugar en $\mathbb{C}^d$ algunos $d$, y la esfera de $\mathcal{S} = \{\mathbf{x}\in\mathbb{C}^d:\|\mathbf{x}\| = 1\}$.

Dado $\delta > 0$, considere la posibilidad de una colección de vectores $\mathcal{Y}_{\delta}\subset\mathcal{S}$ tal que para cada a $\mathbf{x}\in\mathcal{S}$ no es un porcentaje ($\mathbf{y}\in\mathcal{Y}_{\delta}$tal que $|\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle| > 1-\delta$. Considere ahora dos vectores $\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathcal{S}$ tal que $|\langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle| < \epsilon$ para algunos pequeños (pero fijo) $\epsilon$ (es decir, los vectores $\mathbf{v}$ $\mathbf{w}$ están "muy lejos".). Me gustaría mostrar que para cada suficientemente pequeño $\delta$ (independiente de $\epsilon$) hay un $\mathbf{z}\in\mathcal{Y}_{\delta}$ tal que $|\langle \mathbf{v},\mathbf{z} \rangle| > 1-\delta$ (esto puede ser $1$ menos un número constante de veces $\delta$ si que hace que sea más fácil) y $|\langle \mathbf{w},\mathbf{z}\rangle| \geq |\langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle|.$

[Inicio Posterior Comentario:] Para aclarar, me gustaría ver que el resultado se cumple para cualquier colección de $\mathcal{Y}_{\delta},\,\delta>0$ con la por encima de la propiedad (para el diseño de su $\mathcal{Y}_{\delta}$s no está permitido.). Aunque si uno se puede diseñar $\mathcal{Y}_{\delta}$s finitos cardinalidades de modo que el resultado anterior se mantiene, que también sería interesante. [Fin Posterior Comentario]

Siento que no tengo las herramientas necesarias para acercarse a este tipo de problemas por lo que cualquier sugerencia general sería genial.

Para algunos la intuición, supongo que todo fuera real y $d=2$ (es decir, trabajamos en $\mathbb{R}^2$). A continuación, $\mathcal{Y}_{\delta}$ podría ser elegida para ser los vectores en el círculo unitario que se $O(\delta)$-apart. Dado $\mathbf{v}$ $\mathbf{w}$ que son lo suficientemente lejos, puedo encontrar un vector $\mathbf{z}$ $\mathcal{Y}_{\delta}$ $1-\delta$ cerca de $\mathbf{v}$, pero al mismo tiempo, $\mathbf{z}$ puede ser elegido para estar más cerca de a $\mathbf{v}$ que $\mathbf{w}$.

Edit: parece Que hay cierta confusión con respecto a los cuantificadores. Está bien si usted puede demostrar que para un determinado $\epsilon$ (que se puede recoger $\epsilon = 0.1$, por ejemplo.). El problema entonces es: Dada una colección arbitraria de un conjunto de vectores $\mathcal{Y}_{\delta},\,\delta > 0$ que satisfacen $\exists \delta_0 > 0,\,\forall \delta \in (0,\delta_0),\,\forall \mathbf{x}\in\mathcal{S},\,\exists\mathbf{y}\in\mathcal{Y}_{\delta},\,|\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle| > 1-\delta.$, a Continuación, mostrar, (con $\epsilon = \frac{1}{10}$ por ejemplo), que $\exists \delta_0 > 0,\,\forall \delta \in (0,\delta_0),\,\forall \mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathcal{S}$ $|\langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle| < \frac{1}{10}$ existe $\mathbf{z}\in\mathcal{Y}_{\delta}$$|\langle \mathbf{v},\mathbf{z} \rangle| > 1-\delta$$|\langle \mathbf{w},\mathbf{z}\rangle| \geq |\langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle|$.

Answer 1

Podemos hacer la evidente estrategia de trabajo: empuje $v$ un poco hacia la $w$ y, a continuación, se aproxima a este vector por un $z\in Y_{\delta}$.

Permítanme escribir $\langle v, w\rangle = s = |s|e^{i\alpha}$. A continuación, vamos a introducir $$ u = \frac{1}{L} (v+\sigma w) , \quad L = \|v+\sigma w\| ; $$ aquí, voy a elegir a $\sigma = O(\delta^{1/2})$ más tarde.

Ahora puedo elegir un $z\in Y_{\delta}$$|\langle z, u \rangle|> 1-\delta$. Observar que esto implica que $\|e^{i\beta}z-u\|< (2\delta)^{1/2}$ adecuado $\beta$; por conveniencia, voy a suponer que $\beta=0$ (reemplace $z$ $e^{i\beta}z$ en los siguientes cálculos para el caso general). Así $$ \langle z, w \rangle = \langle u, w \rangle + O(\delta^{1/2}) = \frac{s+\overline{\sigma}}{L} + O(\delta^{1/2}) ; \quad\quad\quad\quad (1) $$ el implícita constante en $O(\delta^{1/2})$$\sqrt{2}$. Esto significa que si yo ahora establecer $\sigma=A\delta^{1/2}e^{-i\alpha}$ con una lo suficientemente grande $A>0$, luego me han satisfecho su segunda condición. De hecho, con esta selección de $\sigma$, tenemos que $$ L^2 = 1 + A^2\delta + 2A|s|\delta^{1/2} , \quad\quad\quad\quad (2) $$ así que si echamos otro vistazo al (1), podemos ver que me han hecho el producto escalar $s$ más mediante la adición de $\overline{\sigma}$, y los términos de error procedentes de $L-1$ $O(\delta^{1/2})$ no se puede destruir por completo a este logro. Más explícitamente, el aviso de que $|s+\overline{\sigma}|=|s|+A\delta^{1/2}$, y ampliar (2): $$ L = 1 + a|s|\delta^{1/2} + O(\delta)\quad\quad\quad\quad (3) $$ Recordemos que el $O(\delta^{1/2})$ plazo de (1) estaba muy limitada por $(2\delta)^{1/2}$. Así $$ \textrm{RHS de (1)} \ge (|s|+\delta^{1/2})(1-a|s|\delta^{1/2}-O(\delta)) - (2\delta)^{1/2}\\ = |s| +(1-|s|^2)\delta^{1/2} - (2\delta)^{1/2} - O(\delta) , $$ y este va a ser $\ge |s|$ pequeña $\delta>0$, como se desee (siempre que nos llevó a $A>0$ lo suficientemente grande).

Por último, considere la posibilidad de $$ |\langle v, z\rangle | =\left| L\langle u, z \rangle - \overline{\sigma}\langle w, z\rangle \right| \ge L (1-\delta) - \delta^{1/2}\left( \frac{|s|+\delta^{1/2}}{L}+O(\delta^{1/2})\right) . $$ Tenemos uno de los potencialmente peligrosos término en el lado derecho, es decir, $-A|s|\delta^{1/2}/L$ (todo lo que resta es $O(\delta)$). Sin embargo, (3) muestra que todo saldrá bien después de multiplicarse $L(1-\delta)$.

Answer 2

Intuitiva Observación: para dos vectores unitarios $ x \cdot y = |x| |y| \cos \theta = \cos \theta$, por lo que están midiendo el ángulo entre los vectores.

• $|x \cdot y| > 1 - \delta$ es una precisa manera de decir $x \approx y$.

• Su $Y_\delta$ se define de modo que para cualquier $z \in S$,$z \approx y \in Y_\delta$.

• $|v \cdot w| < \epsilon$ significa esencialmente $v \perp w$ desde su interior producto se encuentra cerca de $0$.

• Nos gustaría encontrar a $z \approx v$ $z$ más cerca de la $w$ el original $v$.

Estos tipos de problemas que aparecen en la teoría de la codificación, tales como el Hamming obligado.

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Esto parece bastante difícil. La condición de $w \cdot z = v \cdot w$ es equivalente a $ w \cdot (z - v) = 0$, lo que define un plano. Todos los puntos de $z$ en un tamaño de plano es más similar a$v$$w$.

A continuación, considere el cono $ z \cdot v = 1 - \delta$. El cono, el plano y la esfera definir un semi-círculo (o hemisferio) y estamos buscando un $Y_\delta$ punto allí.

Por cada punto en que la mitad de la esfera, podemos encontrar una $Y_\delta$ punto de aproximarnos a ella, y será en la mayoría de ángulo de $2\delta$ $v$ por el Triángulo de la desigualdad.

Answer 3

La declaración de que usted está esperando para probar (al menos en la forma en que lo escribió en las ediciones)
es falsa (ya para $d=2$). Voy a trabajar sobre los números reales, pero con una modificación de menor importancia, en este ejemplo funciona a través de los números complejos también.

Como un ejemplo, considere la neta $Y_\delta\subset S^1\subset R^2={\mathbb C}$ compuesto de raíces de la unidad de la orden de $4N$. Vamos $$ \delta= 1- \cos(\frac{\pi}{2N}). $$ Tomando $N$ grandes que podemos llegar a $\delta$ tan pequeño como usted desea. Vamos $$ w=i, v=e^{\frac{i\pi}{10N}}.$$ A continuación, para cada $z\in Y_\delta\setminus \{\pm 1\}$, $$ 1- |<z, v>| >\delta. $$ Por otro lado, para ambos $z=\pm 1$, tenemos $$ |<v, w>| > |<w,z>|=0, $$ que es lo opuesto a la desigualdad de la que usted está esperando.

Edit.

En lo que sigue, voy a utilizar la notación $S=S^{2d-1}$ para la unidad de la esfera en el espacio vectorial complejo ${\mathbb C}^d$, equipado con el estándar de hermitian métrica $\langle \cdot , \cdot \rangle$.

Usted está interesado en la siguiente función en $S\times S$: $$ D(v, w)= 1- |\langle v, w\rangle|. $$ Esta función no es una métrica, pero es comparable a la del cordal métrica $d$ en el complejo espacio proyectivo ${\mathbb C} P^{d-1}$, el cual es dado por la fórmula: $$ d([v], [w])= 1- |\langle v,w\rangle|^2, \quad v, w\en S. $$ Aquí $[z]$ denota la proyección de un vector unitario $z$ ${\mathbb C}^d$ a ${\mathbb C} P^{d-1}$: $$ z=(z_1, z_2, \ldots, z_d)\mapsto [z]=[z_1: z_2: \ldots : z_d]. $$

Definición. Un subconjunto $Y\subset S$ será llamado un $\delta$de la pet- si para cada a $x\in S$ existe $y\in Y$ tal que $D(x, y)\le \delta$.

Nota. Recordemos que un subconjunto $Y$ en un espacio métrico $(X,d)$ es llamado un $\eta$-net si para cada a $x\in X$ existe $y\in Y$ tal que $d(x,y)\le \eta$. Definir la función de $\Theta(D)$ $$ \Theta(D)=\arccos(1-D)\[0, \pi/2], \quad D\[0, 1]. $$ A continuación, un subconjunto $Y\subset S$ $\delta$de la pet- si y sólo si la proyección de $Y$ a las más complejas, espacio proyectivo ${\mathbb C} P^{d-1}$ $\Theta(\delta)$-net para el angular (Fubini-Estudio) métrica en ${\mathbb C} P^{d-1}$. Este último está dado por $$ \ángulo([v], [w])= \Theta(D(v, w)), \quad v, w\en S. $$

Ahora, puedo afirmar un teorema.

Teorema. Existe $\delta_0>0$ tal que para todos los $\delta\in (0, \delta_0)$ cada $\delta$-pet $Y\subset S$ y cada una de las $v, w\in S$ existe $z\in Y$ tal que $$ D(z,w) \le D(z,v), $$ mientras $$ D(z,v)\le 10\delta. $$ Uno puede, en principio, la estimación del número de $\delta_0$ y reducir la constante de $10$ un poco, pero soy demasiado vago para eso. Como he explicado anteriormente, no se puede reemplazar la desigualdad $$ D(z,v)\le 10\delta $$ con $$ D(z,v)\le \delta. $$

No sé si este es el teorema de lo que en realidad está pidiendo.Si, puedo escribir una prueba. Se hace uso de algunos elementales de geometría de Riemann, aunque.