Demostrar que la única raíz de la ecuación $z-\sin(z)$ en la unidad de disco es $z=0$.
Mi primer pensamiento es del Teorema de Rouch, pero no conozco ningún tipo de límites en $|\sin(z)|$. Sugerencias?
Respuesta
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No es la solución más elegante, pero aquí hay algo.
Primero de todo, $f(z) = z - \sin z$ tiene un triple cero en $z=0$. Definir
$$g(z) = \frac{z-\sin z}{z^3} = \frac{1}{3!} + \underbrace{\left(- \frac{z^2}{5!} + \frac{z^4}{7!} - \cdots \right)}_{h(z)}. $$
Si $|z| < 1$, entonces, por la desigualdad de triángulo,
\begin{align} |h(z)| &\le \frac{1}{5!} + \frac{1}{7!} + \frac{1}{9!} + \cdots \\ &= \frac{1}{5!} \left( 1 + \frac{1}{6\cdot 7} + \frac{1}{6\cdot 7 \cdot 8 \cdot 9} + \cdots \right) \\ &\le \frac{1}{5!}\left(1 + \frac{1}{42} + \frac{1}{42^2} + \cdots + \right) \\ &= \frac{1}{5!}\cdot \frac{42}{41} < \frac{1}{3!} \end{align}
Por lo tanto $g$ tiene ningún cero en la unidad de disco, lo que demuestra que el único cero de $f$ es el triple cero en el origen. (Usted puede obtener una más burdas estimación de $h$, por supuesto).
Agregado De hecho, el mismo método que se muestra que $z=0$ es el único cero de los grandes discos de la unidad de disco. Si $|z| < 6$, por ejemplo, el presupuesto final para$h$$|h(z)| < 7/120$, lo que es todavía menos de $1/3!$.
