Cuando la escritura de una prueba se puede escribir axiomas, nuestras suposiciones y cosas que pueden deducirse directamente de estos.
La suposición de que $A$ no está vacío es exactamente para decir que $\exists x(x\in A)$ es una verdadera pena, por lo que podemos elegir un elemento de $A$ y corregir para la prueba. Si, por ejemplo, $A=\{x\}$, entonces también podemos saber de inmediato que sólo hay una opción de $x$ posible. A menudo, sin embargo, este no es el caso.
Inductivamente podemos elegir de un número finito de conjuntos, y podemos elegir un número finito de elementos de cada conjunto, por supuesto que si queremos que esta elección sea única, a continuación, nos puede estar limitado por la cardinalidad de a $A$ (como cuando se $A=\{x\}$ sólo puede haber una única opción de elemento de $A$).
Sin embargo, si desea elegir entre una infinidad de conjuntos no vacíos a la vez, entonces usted necesita el axioma de elección. Es posible tener un modelo de ZF donde se tiene un conjunto de countably muchos pares cuyo producto es el vacío - que no se puede elegir exactamente un elemento de cada conjunto.
Tenga en cuenta que es perfectamente posible elegir entre una infinidad de conjuntos sin el axioma de elección, bajo una severa restricción que tienen alguna característica en común. A partir de un número infinito de conjuntos de números naturales, podemos elegir la mínima en cada juego; a partir de un número infinito finito de conjuntos de números reales, podemos elegir el elemento maximal de cada conjunto; etc, etc.
Por último, si quieres una fórmula que elige de todos los conjuntos no vacíos en el modelo, entonces usted necesita algo más fuerte que el axioma de elección. Usted necesita algo que se llama Global de Elección, es decir exactamente esto. Hay una función de elección en todos los conjuntos no vacíos en el universo.
