¿Cómo puedo demostrar $2\sin x+\tan x \geq 3x$ ?

Question

Demostrar que $$2\sin x+\tan x \geq 3x,\quad 0 < x< \frac{\pi}{2}$$

Juicio: $2\sin x+\tan x \geq 3x\equiv 2\sin x+\tan x -3x\geq 0$ . Por lo tanto, dejemos que $f(x)=2\sin x+\tan x-3x$ .aquí $f(0)=0$ y si puedo mostrar $f'(x) \geq 0,\forall x \in (0,\frac{\pi}{2})$ , entonces puedo demostrar la desigualdad. Ahora $f'(x)=2\cos x + \sec^2x-3$ Cómo mostrar $f'(x) \geq 0$ . Por favor, ayuda.

Answer 1

Aplicar $\text{AM} \geq \text{GM}$ con $\cos x, \cos x, \sec^2 x$ Obtenemos $$(\frac{\cos x+\cos x+\sec^2 x}{3}) \geq (\cos x.\cos x.\sec^2 x)^{1/3}=1$$ Así que, $$2\cos x+\sec^2 x-3 \geq 0 ~\forall x \in (0,\frac{\pi}{2})$$

Answer 2

Sugerencia: Como $f^{\prime}(0)=0$ , toma $f^{\prime\prime}$ y así $f^{\prime\prime}(x)\ge 0$ . Esto debería ser más fácil porque no tendrá el término constante

Sí, es cierto, $$f^{\prime}(x)=2\cos x+\frac{1}{\cos^2 x}-3$$ Así, $$f^{\prime\prime}(x)=-2\sin x+\frac{2\sin x}{\cos^3 x}=2\sin x\frac{1-\cos^3 x}{\cos^3 x}> 0$$ desde $\cos^3 x< \cos x< 1$ en $(0,\frac{\pi}2)$