Me gustaría encontrar todas las elipses que contienen 2 puntos dados y tiene un foco en el origen (cero). Todos en el plano 2D.
Hay varios enfoques posibles, pero no estoy seguro de que es el mejor de ambos se ve muy difícil de resolver algebraicamente.
- utilizando la ecuación polar en relación a enfocar con $(R_1,\phi_1),(R_2,\phi_2)$, siendo las coordenadas de los puntos de $$ R_1 = \frac{a(1-e^2)}{1-ecos(\phi_1-\theta)} $$ $$ R_2 = \frac{a(1-e^2)}{1-ecos(\phi_2-\theta)} $$ luego de determinado $\theta$ resolver para semimajor eje $a$ y la excentricidad $e$
- utilizando la definición de elipse como un conjunto de puntos de la misma distancia de ambos focos. Se dan 2 puntos de coordenadas cartesianas $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ y un foco en el origen $(0,0)$. Para cada parámetro de distancia de $L$ resolver para las coordenadas de segundo foco $(x_f,y_f)$, $$ L = \sqrt{x_1^2 + y_2^2} + \sqrt{(x_1 - x_f)^2 + (y_1 - y_f)^2} $$ $$ L = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} + \sqrt{(x_2 - x_f)^2 + (y_2 - y_f)^2} $$
- Yo también puede rotar el sistema de coordenadas (o mis puntos de entrada) por el ángulo dado (que es mi parámetro arbitrario) y, a continuación, utilizar algunos simplificada de la ecuación de la elipse que tiene eje mayor paralelo al eje x , que acaba con 2 grados de libertad. Pero incluso después de esta rotación no veo mucho la simplificación de expresiones algebraicas solución.
O hay alguna manera mejor?
Las ecuaciones resultantes son muy difíciles de resolver. Me pregunto si hay algún truco para simplificar y hacer más elegante.
También, debido a que después de implementar en código computacional donde sería calculada manytimes por segundo, yo preferiría solución inf forma rápida de evaluar numéricamente ( prefferably sin goniométrica o cualquier transcedental funciones )
Por qué me interesa ? - Necesito algunos optimalization de orbital transferencias para la nave espacial en órbita alrededor del Sol. Me preguntó también en la física.stackexchange, y la gente recomand que yo más bien debe ir a la sección de matemáticas.
