Prueba geométrica por inducción

Question

Dado un segmento $AB$ de longitud $1$ definan el conjunto $M$ de puntos de la siguiente manera: contiene los dos puntos $A,B$ y también todos los puntos obtenidos de $A,B$ iterando la siguiente regla: para cada par de puntos $X,Y$ en $M$ el conjunto $M$ también contiene el punto $Z$ del segmento $XY$ para lo cual $YZ = 3XZ$ . Demostrar por inducción que el conjunto $M$ se compone de puntos $X$ del segmento $AB$ para el que la distancia del punto $A$ es $$AX = \dfrac{3k}{4^n} \hspace{3 mm} \text{or} \hspace{3 mm}AX = \dfrac{3k-2}{4^n}$$ donde $n,k$ son enteros no negativos.

Me confunde esta pregunta ya que no estoy acostumbrado a hacer inducción geométrica. Viendo que hay que iterar cada vez un nuevo punto, me parece difícil formalizar un argumento inductivo para demostrarlo.

Answer 1

Cada punto del segmento $AB$ tiene una cierta distancia de $A$ . Digamos que tienes dos puntos de este tipo, $X$ y $Y$ . Sea $x$ denotan la distancia de $X$ de $A$ , $y$ la distancia de $Y$ de $A$ .

Dejemos que $D$ sea el conjunto de distancias de $A$ a cada punto del conjunto $M$ que se construye en el problema. Recordemos la regla del problema que dice que si $X$ y $Y$ son miembros de el conjunto $M$ el punto $Z$ del segmento $XY$ para lo cual $YZ = 3XZ$ también lo es. Una regla equivalente es, si $x$ y $y$ son números del conjunto $D$ , entonces el número $z$ entre $x$ y $y$ tal que $|z - y| = 3|z - x|$ también está en el conjunto $D$ .

El teorema que debes demostrar es que $D$ se compone enteramente de números de la forma $\dfrac{3k}{4^n}$ o de la forma $\dfrac{3k-2}{4^n}$ .

Ya está, ahora ya no es una inducción geométrica. Sólo aritmética.

Todavía hay algunas complicaciones, por ejemplo, no se puede suponer $x < y$ No se puede suponer que uno de los $x$ y $y$ tiene la forma $\dfrac{3k}{4^n}$ y el otro tiene la forma $\dfrac{3k-2}{4^n}$ (ambos pueden tener la misma forma), y no se puede utilizar un solo valor de $k$ para escribir ambos $x$ y $y$ . Es posible que tenga que considerar varios casos posibles por separado para el paso de inducción.

Answer 2

Utilizando el mismo punto de partida que David K para transformar esto en algo más aritmético, su expresión

$|z - y| = 3|z - x|$

equivale a $z=\dfrac {3x}4 + \dfrac{y}{4} \quad\forall x ,y \in D$ .

Si $y>z>x$ entonces $|z - y| = 3|z - x|$ equivale a $y-z=3(z-x)$ .

Sin embargo, si, $x>z>y$ entonces $|z - y| = 3|z - x|$ equivale a $z-y=3(x-z)$ . Ambas son afirmaciones equivalentes. Resolviendo para $z$ ,

$z-y=3(x-z)$

$z-y=3x-3z$

$4z=3x+y$

$z=\dfrac{3x}4+\dfrac y4$

$z$ siempre tendrá la forma de $y$ (o bien $\dfrac{3k}{4^n}$ o $\dfrac{3k-2}{4^n}$ ). La aritmética modular puede facilitar la explicación. El numerador es 0 (primer caso) o 1 (segundo caso) mod 3. $3x=0\mod 3$ por lo que sólo tenemos que considerar cómo $y$ afecta a la forma de $z$ .

Si $x$ y $y$ tienen el mismo denominador, entonces el numerador de $z$ es simplemente $3x+y$ y $(3x+y)\mod\ 3=y\mod\ 3$ .

Si el denominador de $y$ es mayor que el de $x$ el numerador de $z$ es $(3x)(4^n)+y$ y $(3x)(4^n)+y\mod\ 3=y\mod\ 3$ .

Si el denominador de $x$ es mayor que la de $y$ el numerador de $z$ es $3x+y(4^n)$ . En la aritmética modular $(ab)\mod c=[(a\mod c)(b\mod c)]\mod c$ . $4^n=1 \mod c \quad\forall n \in \mathbb{Z}$ .
Por lo tanto, $3x+y(4^n) \mod\ 3=y\mod\ 3$ .