Si $abc=1$ $\sum\limits_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a+b^2}}\geq\frac{3}{\sqrt2}$

Question

Vamos $a$, $b$ y $c$ ser números positivos tales que $abc=1$. Probar que: $$\frac{a}{\sqrt{a+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c+a^2}}\geq\frac{3}{\sqrt2}$$ Después de la sustitución de $a=\frac{y}{x}$... traté de C-S, pero sin éxito.

Answer 1

He probado esta desigualdad!!!

Vamos $a=\frac{x}{z}$, $b=\frac{y}{x}$ y $c=\frac{z}{y}$, donde $x$, $y$ y $z$ son positivos.

Por lo tanto, tenemos que demostrar que el $\sum\limits_{cyc}\frac{x^2}{\sqrt{z(x^3+y^2z)}}\geq\frac{3}{\sqrt2}$.

Ahora por AM-GM $\sum\limits_{cyc}\frac{x^2}{\sqrt{z(x^3+y^2z)}}=\sum\limits_{cyc}\frac{2\sqrt2x^3}{2\sqrt{2x^2z(x^3+y^2z)}}\geq\sum\limits_{cyc}\frac{2\sqrt2x^3}{x^3+y^2z+2zx^2}$.

Por lo tanto, queda por demostrar que $\sum\limits_{cyc}\frac{x^3}{x^3+y^2z+2zx^2}\geq\frac{3}{4}$, lo cual es cierto, pero mi prueba es todavía muy feo.