¿Cómo puedo resolver esto: $$\int\limits_{0}^{1} \frac{\log(x^{2}-2\cdot x \cdot \cos{a}+1)}{x} \ dx$$
Integración por partes es la única cosa que podía pensar, claro que parece engorroso. La sustitución no funciona.
Respuestas
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Suponga $0<a<2 \pi$. En este caso,$x^2-2 \, x \, \cos a+1 > 0$$0\le x \le 1$, por lo que la integral converge.
Denotar $I(a)$ el valor de la integral. Considere la posibilidad de $\partial_a I(a)$. Usted puede intercambiar el orden de integración y diferenciación, llegar
$$ \partial_a I(a) = \int_0^1 \mathrm{d} x \frac{2 \pecado a}{x^2 + 1 - 2 \, x \, \cos a} = \pi - $$
La integral anterior se calcula después de una sustitución $x = \cos a + \sin a \cdot \tan \frac{t}{2}$ y cuidadosamente teniendo en cuenta la integración de la región.
A partir de aquí, sabiendo que para $I(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{24}$, obtenemos
$$I(a) = \frac{\pi^2}{24} + \int_{\frac{\pi}{2}}^a \mathrm{d} \alpha ( \pi - \alpha) = \pi a - \frac{a^2}{2} - \frac{\pi^2}{3}.$$
La fórmula también se extiende a $a=0$ porque $I(0)$ converge.
La respuesta se extiende a real $a$ por periodicidad.
Matthew Trevor
Puntos
5277
La reescritura de la integral como $$ \int\limits_{0}^{1} \frac{\log|x-e^{i}|^2}{x} \ dx= \int\limits_{0}^{1} \frac{\log|1-xe^{-i}|^2}{x} \ dx= $$ $$ \int\limits_{0}^{1} \frac{\log(1-xe^{i })}{x} \ dx+ \int\limits_{0}^{1} \frac{\log(1-xe^{-i })}{x} \ dx, $$ la expansión y la integración de termwise conduce a una respuesta en forma de serie.
