Si $E[X]=0$ $E[|X|]$ es finito

Question

He leído un libro de texto y dice: $E[X]=0$ implica $E[|X|]<\infty$ pero no entiendo la lógica. Podría alguien decirme por qué así? Muchas gracias!

Answer 1

Por definición: $E[X]$ sólo está definida (EDIT: como un número real) por $X$ tal que $E[|X|] < \infty$.

Answer 2

Así, considere la posibilidad de un tentador ejemplo donde no requieren $E[|X|]$ a un ser finito, a causa de problemas. Considere la posibilidad de una variable con función de densidad de probabilidad de $\frac{1}2\frac{1}{(|x|+1)^2}$. Si integramos $$\lim_{L\rightarrow\infty}\int_{-L}^{L}x\cdot \frac{1}2\frac{1}{(|x|+1)^2}\,dx$$ a continuación, llegamos $0$ como la expectativa de $x$. Sin embargo, si tomamos el límite de una manera diferente, como dicen $$\lim_{L\rightarrow\infty}\int_{-2L}^{L}x\cdot \frac{1}2\frac{1}{(|x|+1)^2}\,dx$$ a continuación, llegamos $-\log(2)$ como la expectativa - que es mala, porque nos deberían de haber obtenido la misma respuesta!

Esencialmente, si queremos hacer cualquier sentido de la declaración de $E[X]$ es necesario tener una cierta infinito integral en una bien definida sentido - y esto sólo puede suceder si al menos uno de $E[\max(x,0)]$ $E[\min(x,0)]$ son finitos. Si uno es infinito, $E[X]$ sería también, así que si $E[X]=0$ es finito, por lo que son esos dos integrales significado $E[|X|]$ es finito.

Answer 3

Deje $X^+=\max\{X,0\}$$X^-=\max\{-X,0\}$. A continuación, $E(X)$ es definido como: $E(X^+)-E(X^-)$ cuando al menos uno de $E(X^+)$ $E(X^+)$ es finito. La declaración de $E(X)=0$ (o $E(X)=$ cualquier finito número real), a continuación, de manera implícita que tanto $E(X^+)$ $E(X^+)$ son finitos. Podemos inferir $E(|X|)=E(X^+)+E(X^-)$ es también finito.

Answer 4

\begin{align} EX&=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\\ &=\int_{-\infty}^{0}xf(x)dx+\int_{0}^{\infty}xf(x)dx\\ &=A+B \end{align} $A+B=0$ implica $A=-B$. Tenga en cuenta también que tanto $A$ $B$ son finitos. \begin{align} E|X|&=\int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x)dx\\ &=-\int_{-\infty}^{0}xf(x)dx+\int_{0}^{\infty}xf(x)dx\\ &=-A+B\\ &=2B \end{align}

Answer 5

Supongamos por el contrario que $0 = E[X]$, pero $\infty = E[|X|]$. Entonces, tenemos

$$\infty = E[|X|] = E[X^+ + X^-] = E[X^+] + E[X^-]$$

$$\to E[X^+] = \infty \ \text{or} \ E[X^-] = \infty$$

Entonces

$$E[X] = E[X^+ - X^-] = E[X^+] - E[X^-]$$

1. $$= \infty \ \text{if} \ E[X^+] = \infty \ \text{but} \ E[X^-] < \infty$$

2. $$= -\infty \ \text{if} \ E[X^-] = \infty \ \text{but} \ E[X^+] < \infty$$

3. $$\text{is indeterminate otherwise}$$

Todos los casos se contradicen $E[X] = 0$, o cualquier otro número real, para que la materia. Por esta razón, en primer lugar, el uso de '$E[X]$' a menudo requiere que el $E[|X|] = \infty$. Entre las excepciones se incluyen cuando la variable aleatoria toma valores en $(\overline{\mathbb R}, \mathscr B(\overline{\mathbb R}))$