Un recíproco para Stokes' Teorema de la $\mathbb{R}^n$

Question

En una conferencia de cálculo avanzado, mi profesor hizo un muy interesante comentario acerca de las generalizado de Stokes Teorema (de hecho, él lo dejó como un ejercicio!), tal que, si he entendido bien, es algo así como:

Deje $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ ser un conjunto abierto y $\tau:\mathrm{F}_{n-1}(\Omega) \to \mathrm{F}_n(\Omega)$ un operador lineal satisfactoria $$ \int_{\Theta}\tau\omega = \int_{\partial\Theta} \omega,\quad \forall \omega\in\mathrm{F}_{n-1}(\Omega),\forall\Theta\in\mathrm{C}_{n}(\Omega),$$ donde $\mathrm{C}_n(\Omega)$ es el conjunto de singular $n$-cadenas en $\Omega$. A continuación,$\tau = \mathrm{d}$, en el exterior operador de la derivada.

Mi intento: De Stokes Teorema, tenemos que $\int_{\Theta} (\tau-\mathrm{d})\omega = 0,~ (\forall\omega,\forall \Theta)$, y tenemos que demostrar que esto implica $(\tau-\mathrm{d})\omega = 0,~ (\forall\omega,\forall \Theta)$.

Supongamos WLOG que $\Theta=\xi\in S_n(\Omega)$ (conjunto de singular $n$-simplex en $\Omega$). Así $$ \int_{\xi}(\tau-\mathrm{d})\omega = \int_{\sigma=[v_0,\cdots,v_n]}\left((\tau-\mathrm{d})\omega\right)_\xi,$$

pero aquí hay un problema, ya que no está claro si puedo conmutan el operador $(\tau-\mathrm{d})$ con el pullback o no. Es este el camino equivocado?

Answer 1

Como $(\tau - d)\omega \in F^n(\Omega)$, escribir $$ (\tau - d)\omega = f(x) dx^1\cdots dx^n,$$ donde $f(x)$ es diferenciable. Si $(\tau - d)\omega \neq 0$, entonces no es$x\in \Omega$, de modo que $f(x) > 0$ (o $<0$, los argumentos son los mismos). A continuación, $f(x) >0$ sobre un conjunto abierto $\Omega' \subset \Omega$. Considere la posibilidad de una singular cadena de $\Theta$ con imagen en esta $\Omega'$, luego de llegar $$\int_\Theta (\tau - d)\omega >0,$$ lo cual es una contradicción.

(Usted acaba de tratar a $(\tau - d)\omega$ como un todo y demostrar que es cero).