Medida de "mal approximable" los números reales

Question

Esta es una continuación de la Aplicación de la Borel-Cantelli Lema.

Llamar a un número real $x$ diophantine iff $$ \existe p,c > 0 \forall q \in \mathbb Z^* \forall \in \mathbb Z: \left | x - \frac q \right | > \frac c {|q|^p} $$ Entonces casi cada número real se diophantine. Este es el Ejercicio 19.2.8 de Tao Análisis II.

Fijo $p> 2$ $c > 0$ sé que el conjunto $$ E(p,c) := \left \{x \in [0,1] : \left | x - \frac q \right | \leq \frac c {q^p} \text{ para infinitly muchos } (a,q) \in \mathbb N \times \mathbb N^* \right \} $$ has measure zero (see the link). For the question I can assume that $p > 2$ and $c,p \in \mathbb P$. I must show that the set of non-diophantine real numbers in $[0,1]$ tiene medida cero. Si yo sé que yo puedo tomar una contables de la unión de los conjuntos de medida cero, lo que da un conjunto de medida cero.

Denotar $$ X := \left \{ x\in [0,1]: \forall p \in \mathbb Q_{>2} \forall c \in \mathbb Q_{>0} \exists q \in \mathbb N^* \existe un \in \mathbb N: \left |x - \frac q \right | \leq \frac c {q^p} \right \} $$ We have to prove that $m(X) = 0$. How can I show that $m(X) = 0$ by using the fact that $m(E(p,c)) = 0$ for every $p> 2$ and $c > 0$. I see that the pairs $(p,c)$ son contables. ¿Esta ayuda ?

Answer 1

No creo que el uso de la $E(p,c)$ es el enfoque correcto aquí. Vamos a definir

$$\begin{align} A(p,c,q,a) &:= \left\lbrace x \in [0,\,1] : \left\lvert x-\frac{a}{q}\right\rvert \leqslant \frac{c}{q^p} \right\rbrace,\\ B(p,c,q) &:= \bigcup_{a=0}^q A(p,c,q,a),\\ \Omega(p,c) &:= \bigcup_{q=1}^\infty B(p,c,q),\\ X(p) &:= \bigcap_{c > 0} \Omega(p,c). \end{align}$$

Entonces tenemos

$$\begin{align} X &:= \left \{ x\in [0,1]: \forall p \in \mathbb Q_{>2} \forall c \in \mathbb Q_{>0} \exists q \in \mathbb N^* \exists a \in \mathbb N: \left |x - \frac a q \right | \leq \frac c {q^p} \right \}\\ &= \bigcap_{p \in \mathbb Q_{>2}} \bigcap_{c \in \mathbb Q_{>0}} \bigcup_{q \in \mathbb N^*} \bigcup_{a \in \mathbb N} A(p,c,q,a)\\ &= \bigcap_{p \in \mathbb Q_{>2}} \bigcap_{c \in \mathbb Q_{>0}} \bigcup_{q \in \mathbb N^*} B(p,c,q)\\ &=\bigcap_{p \in \mathbb Q_{>2}} \bigcap_{c \in \mathbb Q_{>0}} \Omega(p,c). \end{align}$$

Ahora, $m(A(p,c,q,a)) \leqslant \dfrac{2c}{q^p}$, y por lo tanto $m(B(p,c,q)) \leqslant \dfrac{2c(q+1)}{q^p} \leqslant \dfrac{4c}{q^{p-1}}$ y

$$m(\Omega(p,c)) \leqslant \sum_{q=1}^\infty m(B(p,c,q)) \leqslant \sum_{q=1}^\infty \frac{4c}{q^{p-1}} = 4c\cdot\zeta(p-1).$$

Así

$$m(X(p)) = m\left(\bigcap_{c\in\mathbb{Q}_{>0}} \Omega(p,c)\right) \leqslant \inf_{c\in\mathbb{Q}_{>0}} m(\Omega(p,c)) = 0.$$

Que también implica $m(X) = 0$.