¿Comparación continua entre dos normas Finsler?

Question

Dejemos que $(E,F_1)$ sea un haz vectorial de Finsler sobre una variedad $M$ . (Véase la definición precisa más adelante). Sea $F_2$ sea otra función de Finsler (norma) sobre $E$ .

Para cualquier $p \in M \, , \, F_1|_{E_p}:E_p \to \mathbb{R}$ es una norma en un espacio vectorial de dimensión finita. Por lo tanto, la esfera unitaria correspondiente $\mathbb{S^p_1}=\{v_p \in E_p |F_1(v_p)=1 \}$ es compacto. Así que $F_2$ alcanza un mínimo en $\mathbb{S^p_1}$ . De este modo, obtenemos una función $m:M \to \mathbb{R}$ a través de $m(p) = \min\{F_2(v_p) | v_p \in \mathbb{S^p_1}\}$

Pregunta:

Es $m$ ¿siempre continua?

Observaciones:

(1) Estoy bastante seguro $m$ no es suave en general. Por ejemplo, si $E=TM$ y $F_i$ son las normas de Finsler inducidas por dos métricas de Riemann $g_1,g_2$ entonces un cálculo aquí muestra que $m(p)=\min \lambda(G)$ donde $G$ es la matriz de componentes $g_{ij}$ de una métrica con respecto a un marco ortonormal de la otra.

(2) No siempre podemos elegir un sección de minimización continua $s:M \to E$ Es decir $s$ tal que: $s_p \in \mathbb{S^p_1} \, , \, F_2(s_p)=m(p)$

(Esto se deduce del ejemplo anterior junto con esta respuesta )

Por supuesto, cuando una elección continua como la descrita en (2) es posible, esto implica inmediatamente la continuidad de $m$ .

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Un haz vectorial de Finsler es un haz vectorial (suave) $E$ sobre una variedad (suave) $M$ junto con una función de Finsler $F : E \to \mathbb{R}$ tal que para cada vector $v \in E$ :

(1) $F$ es suave en el complemento de la sección cero de $E$ .

(2) $F(v) \ge 0$ con igualdad si y sólo si $v = 0$ (definición positiva).

(3) $F(\lambda v) = |\lambda| F(v)$ para todos $\lambda \in \mathbb{R}$ (homogeneidad).

(4) $F(v + w) \le F(v) + F(w)$ por cada $w$ que está en la misma fibra con v (subaditividad).

Answer 1

Respuesta: Sí, $m$ es siempre continua.

Observación: Tu definición de función de Finsler es contradictoria. En la parte (3) deberías suponer $F(\lambda v) = |\lambda| F(v)$ o restringir a $\lambda\geq0$ . Algunos autores no exigen que las funciones de Finsler sean simétricas.

Detalles: Supongamos que $m$ no es continua. Entonces hay $p\in M$ y una secuencia $(p_i)$ convergiendo a $p$ para que $\lim_{i\to\infty}m(p_i)\neq m(p)$ . A priori (sólo a partir de consideraciones de la continua de funciones sobre espacios métricos), el límite $\ell:=\lim_{i\to\infty}m(p_i)$ puede ser cualquier cosa en $[0,\infty]$ .

Para cada $i$ , elijamos $v^i\in E_{p_i}$ para que $F_1(v^i)=1$ y $F_2(v^i)=m(p_i)$ . Podemos identificar los espacios tangentes cerca de $p$ (esto viene de la propia definición de bulto) y pasar a una subsecuencia para suponer que los vectores $v^i$ convergen a un límite $v\in E_p$ . Desde $F_1$ y $F_2$ dependen continuamente del punto base, tenemos $F_1(v)=1$ y $F_2(v)=\ell\in(0,\infty)$ . Según la definición de $m$ debemos tener $\ell\geq m(p)$ . Como hemos asumido $\ell\neq m(p)$ (hasta encontrar una contradicción), podemos concluir que $m(p)<\ell<\infty$ .

Dejemos que $u\in E_p$ sea un vector con $F_1(u)=1$ y $F_2(u)=m(p)$ . Con la identificación anterior podemos considerar $u=u^i$ como un vector en $E_{p_i}$ también. Se deduce de la dependencia continua de $F_1$ y $F_2$ en el punto base que $\lim_{i\to\infty}F_1(u^i)=1$ y $\lim_{i\to\infty}F_2(u^i)=m(p)$ . Pero $F_2(u^i)\geq F_1(u^i)m(p_i)$ Así que $$ m(p) = \lim_{i\to\infty}F_2(u^i) \geq \lim_{i\to\infty}F_1(u^i) \times \lim_{i\to\infty}m(p_i) = 1\times\ell > m(p). $$ Esto es imposible.

(Esta prueba podría haberse organizado de otra manera, por supuesto. Espero que esto transmita las ideas clave con suficiente claridad).