Plegable rectangular de papel, que una de las esquinas se mueve a lo largo del lado opuesto

Question

Una rectangular de papel se pliega de manera tal que una esquina se mueve a lo largo del lado opuesto. Demostrar que todos los pliegues formados son tangentes a una parábola.

Intento:

Deje que el papel esté orientado de tal manera que en el primer cuadrante y tiene una esquina como el origen y lados a lo largo del eje. Después de doblar así:

Deje a un lado del papel se $a$.

La ecuación del pliegue es $$y=(x-h)\tan\theta$$ También, en $\Delta LOH$, $$\cos(\pi-2\theta)=-\cos(2\theta)=\frac{h}{a-h}$$ $$-\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=\frac{h}{a-h}$$ Sustituyendo el valor de $\tan\theta$ a partir de la ecuación de pliegue, $$ah^2+2(y^2-ax)h+a(x^2-y^2)=0$$

No llego a ninguna parte cerca de probar la instrucción dada.

Answer 1

Esta es una pregunta básica para ser resuelto mediante la Matemática Origami, que inicialmente fue desarrollado para servir como un tangibles clave para comprensión matemática de la geometría de las formas.

Deje $L_1$ ser la línea que forman el borde inferior del papel. Deje $P_1$ ser un punto hacia el centro, muy cerca de $L_1$, e $P_2$ ser un punto en el borde izquierdo o derecho de nuestro papel. Dobla el papel y llamar a la arrugado de la línea de $L_2$.

Desde el punto de $P_1$ construir una línea que es $\perp$ para el plegado de la porción de $L_1$. Deje $X$ ser el punto donde esta línea intersecta $L_2$.

Por la apertura de nuestro trabajo, podemos observar que el segmento de línea $XP_1$ y el segmento de la línea de$X$$L_1$, se $\overline{XA}$, son iguales.

Por lo tanto, $X$ es el punto en $L_2$ que es equidistante a ambos $P_1$$L_1$. Por definición, este punto se encuentra en la parábola con foco $P_1$ y la directriz $L_1$. $L_2$ es también el $\perp$ bisectriz de $\angle AXP_1$. Por lo tanto, cualquier punto en $L_2$ es equidistante a $A$$P_1$.

Elija un punto de $Y$,$L_2$$P_2$$X$. Construcción de la $\perp$ $L_1$ pasando a través de $Y$, se $\overline{YB}$. Nota, que $\triangle YBA$ que es correcto, lo $\overline{YB}<\overline{YA} = \overline{YP_1}$. Desde todos los puntos de la parábola debe ser equidistante tanto de la directriz, $L1$, y el enfoque, $P1$, sabemos que la parábola se encuentra por encima de $L_2$ en este punto.

Del mismo modo, podemos demostrar que esto es cierto para cualquier punto en $L_2$$X$$L_1$. Por lo tanto, $L_2$ es la línea tangente a la parábola.[Fuente]