Demostrando $\frac{z}{1+z}+\frac{2z^2}{1+z^2}+...+\frac{2^{k}z^{2^k}}{1+z^{2k}}+...=\frac{z}{1-z}$

Question

Demostrar que para $\left\lvert z \right\rvert<1$, $\dfrac{z}{1+z}+\dfrac{2z^2}{1+z^2}+...+\dfrac{2^{k}z^{2^k}}{1+z^{2k}}+...=\dfrac{z}{1-z}$. También, justificar cualquier cambio en el orden de la suma.

Este es un ejercicio de mi libro de texto, pero no tengo idea. Me han demostrado que: $$\dfrac{z}{1+z}+\dfrac{2z^2}{1+z^2}+...+\dfrac{2^{k}z^{2^k}}{1+z^{2k}}-\dfrac{z}{1-z}= \dfrac{2^{k+1}}{1-\dfrac{1}{z^{2^{k+1}}}}$$

pero no sé cómo mostrar $2^{k+1}$ es de crecimiento lento, lo suficiente para hacer que el conjunto de la fracción tiende a cero.

La sugerencia de que el libro es: el Uso de la diádica de expansión de un número entero y el hecho de que $2^{k+1}-1=1+2+2^2+...+2^k$

Podría usted por favor darme alguna sugerencia más? Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que para cada una de las $k \ge 1$,

$$\frac{2^k z^{2^k}}{1+z^{2^k}} = \frac{2^k z^{2^k}(1 - z^{2^k})}{(1 + z^{2^{k}})(1-z^{2^k})} = \frac{2^kz^{2^k}(1+z^{2^k} - 2z^{2^k})}{(1+z^{2^{k}})(1-z^{2^k})} = \frac{2^kz^{2^k}}{1-z^{2^k}} - \frac{2^{k+1}z^{2^{k+1}}}{1-z^{2^{k+1}}}. $$

Además, puesto que la $\lvert z \rvert < 1$,

$$\lim_{k\to \infty} \frac{2^k z^{2^k}}{1 - z^{2^k}} = 0$$

Con estos dos datos, usted será capaz de probar el resultado.