Introducción
La transferencia de momento se incluye correctamente cuando se incorpora el centro de masa del movimiento $\mathbf R$ del átomo como variable dinámica. Realizar la aproximación dipolar permite tratar a todos los electrones como si interactuaran con algún campo en el centro del átomo, $\mathbf F(\mathbf R,t)$ , pero ahora $\mathbf R$ es un operador sobre los grados de libertad del centro de la masa, lo que significa que las probabilidades de transición deben tenerlo en cuenta.
En términos manuales, el hamiltoniano de interacción puede reformularse como $$ \hat H_\mathrm{int}=\mathbf d\cdot\mathbf F(\mathbf R,t), $$ donde $\mathbf d$ es un operador dipolar que actúa sobre los grados de libertad electrónicos internos, y $\mathbf F(\mathbf R,t)$ es un operador de campo que depende de $\mathbf R$ . Las probabilidades de transición deben tomarse entre un estado inicial $|\Psi_i=|\chi_i|\psi_i$ que es un estado conjunto de los grados de libertad internos en el estado $|\psi_i$ y el movimiento del centro de masa en el estado $|\chi_i$ y un estado final análogo. La probabilidad total de transición incluye entonces un factor de coincidencia espacial $$\left\langle\chi_f|\mathbf F(\mathbf R,t)|\chi_i\right\rangle$$ que controla la transferencia de momento. Así, si ambos $|\chi_i$ y $|\chi_f$ tienen un momento lineal definido y el campo es monocromático, entonces el momento del campo $\hbar\mathbf k$ tiene que coincidir, exactamente, con la diferencia de momento entre los dos, o la amplitud de la transición desaparecerá.
A continuación, ofrezco una explicación más detallada de este cálculo. Las referencias son relativamente difíciles de encontrar porque se encuentran ahogadas en un mar de artículos y libros de texto sobre el enfriamiento Doppler, pero la obra de SJ van Enk Reglas de selección y movimiento del centro de masa de los átomos ultrafríos ( Opt. Cuántica 6 , 445 (1994) , eprint ) ofrece una buena introducción, que sigo a continuación.
Relevancia
Antes de pasar a las matemáticas, quiero explicar por qué está bien en general no hacer nada de lo que sigue. Muy pocos libros de texto introductorios incluyen algo de esto, y rara vez se tiene en cuenta en la física cotidiana, pero es definitivamente necesario para la conservación de la energía y el momento. Entonces, ¿qué ocurre?
Hay dos razones para ello.
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La primera es que los cambios de energía implicados no son realmente tan grandes para empezar. Consideremos, por ejemplo, el Lyman- $\alpha$ línea del hidrógeno, que tiene una frecuencia relativamente alta (y por lo tanto el momento del fotón) y ocurre en un átomo ligero, por lo que el efecto debería ser relativamente fuerte. El momento del fotón parece ser significativo, a $p=m_\mathrm{H}\times 3.3\:\mathrm{m/s}$ pero el cambio de velocidad que imparte es minúsculo con respecto a la unidad atómica de velocidad, $\alpha c=2.18\times 10^{6}\:\mathrm{m/s}$ .
Y lo que es más importante, la energía cinética para el cambio es pequeña, a $\tfrac1{2m_\mathrm{H}}p^2=55\:\mathrm{neV}$ por lo que se considera una desintonía fraccional del orden de $5\times 10^{-9}$ con respecto a la frecuencia que tendría la transición si el átomo estuviera fijo. Esto es posible con la espectroscopia de precisión, pero se necesitan todas esas nueve cifras significativas en el aparato de detección para poder detectarlo.
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Para colmo de males, los diminutos empujes de los fotones suelen quedar ahogados por las fluctuaciones comparativamente enormes de la posición del átomo debidas a su movimiento térmico. A temperatura ambiente, $k_B T\approx 26\:\mathrm{meV}$ lo que significa que el movimiento del átomo, y su correspondiente desplazamiento Doppler (incontrolado) causará un gran Ensanchamiento Doppler que enmascarará completamente el retroceso de los fotones. (Para el hidrógeno a temperatura ambiente, el efecto es un ensanchamiento fraccionario del orden de $10^{-5}$ La línea sigue pareciendo estrecha, pero es del orden de $30\:\mathrm{GHz}$ en comparación con el $530\:\mathrm{MHz}$ desplazamiento del retroceso del fotón).
Sin embargo, esto no es un problema si puedes enfriar tus átomos a una temperatura adecuada. Si puedes bajar a temperaturas del orden de $p^2/2mk_B\approx0.64\:\mathrm{mK}$ Entonces los efectos serán claramente medibles. De hecho, normalmente utilice el retroceso de los fotones para ayudarte a enfriar usando Enfriamiento Doppler para llegar allí (aunque eso no suele ser suficiente, y se necesitan pasos adicionales de enfriamiento sub-Doppler como Sísifo o banda lateral refrigeración para terminar el trabajo).
Por otro lado, todos estos retos se han superado y la observación del retroceso de los fotones es posible de forma más o menos rutinaria desde hace unos cuarenta años. Las técnicas modernas de espectroscopia de alta precisión pueden llegar a superar las 15 o 16 cifras significativas, y el retroceso de los fotones es una parte integral de la teoría y del conjunto de herramientas experimentales.
Tuercas y tornillos
Considere un grupo de partículas de carga $q_i$ y la masa $m_i$ en las posiciones $\mathbf r_i$ que están expuestos a un campo de radiación descrito por el potencial vectorial $\mathbf A(\mathbf r,t)$ en el medidor de radiación (así $\nabla\cdot\mathbf A(\mathbf r,t)=0$ ), y sujeta a un potencial (invariante de traslación) $\hat V=V(\mathbf r_0,\ldots,\mathbf r_N)$ . El hamiltoniano completo del sistema viene dado por \begin{align} \hat H &= \sum_i \frac1{2m_i}\left(\mathbf p_i-q_i\mathbf A(\mathbf r_i,t)\right)^2+\hat V \\&= \sum_i\left[\frac{\mathbf p_i^2}{2m_i}-\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t)+\frac{\mathbf A(\mathbf r_i,t)^2}{2m_i}\right]+\hat V \\&= \sum_i\frac{\mathbf p_i^2}{2m_i}+\hat V-\sum_i\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t) +\sum_i\frac{\mathbf A(\mathbf r_i,t)^2}{2m_i}. \end{align} El término cuadrático $\sum_i\frac{\mathbf A(\mathbf r_i,t)^2}{2m_i}$ es conocido como el término diamagnético y generalmente es seguro ignorarlo porque puede ser eliminado con una transformación gauge trivial dentro de la aproximación dipolar . (Fuera de ella, sí hay que preocuparse).
El hamiltoniano de la interacción principal es entonces $$ \hat H_\mathrm{int}=-\sum_i\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t). $$ (En la mayoría de los casos, este hamiltoniano de interacción del "indicador de velocidad" de la forma $\mathbf p\cdot\mathbf A$ se puede reformular, mediante una transformación gauge, a una forma más familiar $\mathbf r\cdot\mathbf E$ -en el calibre de longitud. Sin embargo, esto no es realmente necesario aquí, así que me quedaré con el indicador de velocidad).
Transformaciones de coordenadas
Para exponer el papel del centro de masa, transformamos a las variables $$ \mathbf R=\sum_{i=0}^N\frac{m_i}{M}\mathbf r_i \quad\text{and}\quad \newcommand{\rro}{\boldsymbol{\rho}} \rro_i=\mathbf r_i-\mathbf r_0 \quad\text{for }i=1,\ldots, N $$ con $M=\sum_im_i$ y en el que la posición de la partícula número cero (es decir, el núcleo) desaparece como variable dinámica. Los momentos se transforman como $$ \mathbf P=\sum_{i=0}^Np_i \quad\text{and}\quad \newcommand{\ppi}{\boldsymbol{\pi}} \ppi_i=\mathbf p_i-\frac{m_i}{M}\sum_{j=0}^N\mathbf p_j $$ y las relaciones inversas son \begin{align} \mathbf r_0&=\mathbf R-\sum_{j=1}^N\frac{m_j\rro_j}{M} & & \mathbf r_i=\mathbf R+\rro_i-\sum_{j=1}^N\frac{m_j\rro_j}{M} \\ \mathbf p_0&=\frac{m_0}{M}\mathbf P-\sum_{j=1}^N\ppi_j & & \mathbf p_i=\frac{m_i}{M}\mathbf P+\ppi_i .\end{align}
El potencial vectorial, finalmente, puede ser simplemente aproximado en el centro de masa, así $$\mathbf A(\mathbf r_0,t)\approx\mathbf A(\mathbf r_i,t)\approx\mathbf A(\mathbf R,t).$$ El hamiltoniano de interacción, entonces, dice \begin{align} \hat H_\mathrm{int} &= -\frac{q_0}{m_0}\mathbf p_0\cdot\mathbf A(\mathbf r_0t) -\sum_{i>0}\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t) \\&= -\frac{q_0}{m_0}\left( \frac{m_0}{M}\mathbf P-\sum_{i>0}\ppi_i \right)\cdot\mathbf A(\mathbf R,t) -\sum_{i>0}\frac{q_i}{m_i}\left( \frac{m_i}{M}\mathbf P+\ppi_i \right)\cdot\mathbf A(\mathbf R,t) \\&= \sum_{i>0} \left(\frac{q_0}{m_0}-\frac{q_i}{m_i}\right)\ppi_i\cdot\mathbf A(\mathbf R,t) \end{align} para un sistema neutral.
Amplitudes de transición
Esto es realmente todo lo que se necesita. La probabilidad de transición desde un estado inicial $|\Psi_i$ a un posible estado final $|\Psi_f$ puede leerse simplemente como $$ \Psi_f|\hat H_\mathrm{int}|\Psi_i, $$ con algunas sutilezas más si se quiere ser riguroso con la evolución del tiempo, y derivar, por ejemplo, la regla de oro de Fermi.
Si el centro de masa se mantiene fijo en el espacio, entonces todo lo que importa es el momento dipolar atómico, que para esta interacción hamiltoniana dice $$ \sum_{i>0}\left(\frac{q_0}{m_0}-\frac{q_i}{m_i}\right)\psi_f|\ppi_i|\psi_i, $$ tomada entre estados internos $|\psi_i$ y $|\psi_f$ que se puntea con el potencial vectorial fijo $\mathbf A(\mathbf R,t)$ para dar la tasa de transición.
Sin embargo, para un centro de masa dinámico, que comienza en el estado $|\chi_i$ y que estamos sondeando en el estado $|\chi_f$ la probabilidad de transición completa es $$ \sum_{i>0}\left(\frac{q_0}{m_0}-\frac{q_i}{m_i}\right)\psi_f|\ppi_i|\psi_i \cdot \chi_f|\mathbf A(\mathbf R,t)|\chi_i. $$
Aquí el elemento de la matriz $\chi_f|\mathbf A(\mathbf R,t)|\chi_i$ controla directamente la absorción de un cuanto de momento en el estado de centro de masa. Para obtener la conservación completa del momento, realmente debería considerar un ejemplo con un campo monocromático, $$\mathbf A(\mathbf R,t)=\mathbf A_0\cos(\mathbf k\cdot\mathbf R-\omega t),$$ por lo que el campo da una contribución de momento bien definida, y con estados iniciales y finales que tienen momentos definidos $\mathbf k_i$ y $\mathbf k_f$ respectivamente, es decir, ondas planas con esos vectores de onda. El elemento de la matriz es entonces \begin{align} \chi_f|\mathbf A(\mathbf R,t)|\chi_i &= \mathbf A_0 \int\frac{\mathrm d\mathbf R}{(2\pi\hbar)^3} e^{i(\mathbf k_i-\mathbf k_f)\cdot\mathbf R/\hbar}\cos(\mathbf k\cdot\mathbf R-\omega t) \\&= \frac12\mathbf A_0\left( \delta(\mathbf k_i-\mathbf k_f+\mathbf k)e^{-i\omega t} + \delta(\mathbf k_i-\mathbf k_f-\mathbf k)e^{+i\omega t} \right). \end{align} En una imagen de campo cuantizado, el primer término de frecuencia positiva se convierte en un operador de aniquilación que resta un fotón del campo y añade $\hbar\mathbf k$ al movimiento del centro de masa, y el segundo término se convierte en un operador de creación que emite un fotón eliminando $\hbar\mathbf k$ momento del movimiento del átomo. Si se utiliza un campo clásico con materia cuantizada, el aproximación de la onda rotatoria normalmente requerirá que se mantenga sólo el primer término para la absorción y sólo el segundo término para la emisión, con los correspondientes efectos en el momento del centro de masa.
Energía
Por último, ¿qué pasa con la energía cinética? Ingenuamente, la energía del fotón debería ser ligeramente superior a la energía de transición para tener en cuenta el aumento de la energía cinética del centro de la masa (esto olvida que el láser también puede ralentizar el átomo si vuela hacia el láser y éste se desplaza hacia el rojo, pero en realidad es lo mismo). ¿Cómo se explica esto?
De hecho, te darás cuenta de que no he hablado en absoluto de consideraciones energéticas, y desde luego no he impuesto ninguna relación entre los estados internos inicial y final y el hamiltoniano atómico. Resulta que el movimiento externo se trata exactamente de la misma manera.
Al principio, dividí el hamiltoniano en una parte atómica y otra de interacción: $$ \hat H = \sum_i\frac{\mathbf p_i^2}{2m_i}+V(\mathbf r_0,\ldots,\mathbf r_N)-\sum_i\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t) =\hat H_\mathrm{at}+\hat H_\mathrm{int} $$ (Para un campo cuantificado, también habría que incluir un hamiltoniano de campo, por supuesto). Ahora bien, el hamiltoniano atómico, tal y como está planteado, es una función de las coordenadas individuales, pero lo ideal es reformularlo en términos de las coordenadas internas más el centro de masa. Esto da entonces $$ \hat H_\mathrm{at} =\frac{\mathbf P^2}{2M} +\left[ \sum_{i>0}\frac{\ppi_i^2}{2\mu_i}+\sum_{i\neq j>0}\frac{\ppi_i\cdot\ppi_j}{2m_0} + V(\mathbf 0,\rro_1,\ldots ,\rro_N) \right] =\hat H_\mathrm{COM}+\hat H_\mathrm{el}. $$ La energía cinética del centro de masa se contabiliza directamente, y el hamiltoniano interno $\hat H_\mathrm{el}$ es lo que realmente diagonalizamos cuando encontramos los estados propios electrónicos. (Aquí $\mu_i=(m_i^{-1}+m_0^{-1})^{-1}$ es el $i$ y los términos cinéticos cruzados son generalmente suprimidos por la gran masa nuclear $m_0$ .)
Pero lo más importante es que si queremos decir que el sistema pasó de un estado de energía definida a otro estado de energía definida al absorber un fotón, entonces tiene que pasar de un estado propio a otro de la completo hamiltoniano atómico $\hat H_\mathrm{at}$ y esto incluye el grado de libertad del centro de masa. La energía del fotón debe entonces dar cuenta del cambio de energía en el conjunto, no sólo de la transición electrónica.
