a) Las interrelaciones entre los elementos del curso;

Question

Estoy leyendo un libro de Introducción a la Topología de Mendelson.

La sección estoy en se titula "los Componentes Locales y Conectividad".

Todo el enunciado del problema es,

Deje $X$ $Y$ ser homeomórficos espacios topológicos. Demostrar que cualquier homeomorphism $f:X\to Y$ establece un bijection entre los componentes de $X$ a los componentes de $Y$.

Mi intento de la prueba es,

Tenemos que los componentes de $X$ partición $X$ tal que $$X=\bigcup\limits_{\alpha\in I} C_\alpha$$ where for any $\alpha,\beta\I$, $C_\alpha\cap C_\beta=\varnothing.$ Since $X$ is homeomorphic to $Y$, $$f(X)=Y=f\left(\bigcup\limits_{\alpha\in I} C_\alpha\right)=\bigcup\limits_{\alpha\in I} f(C_\alpha).$$ Since for each $\alpha\I$, $C_\alpha$ is connected, $f(C_\alpha)$ is connected. Also, for any $\alpha,\beta\I$, $f(C_\alpha\cap C_\beta)=f(C_\alpha)\cap f(C_\beta)=\varnothing$, since $f$ is a homeomorphism. Thus, $Y$ is partitioned by the images of the components of $X$, where each $f(C_\alpha)$ is a component of $Y$. Therefore, a bijection exists between the components of $X$ and the components of $Y$, since a bijection exists between $C_\alpha$ and $f(C_\alpha)$.

Es mi enfoque general correcto o debo tratar de llegar a una función real entre los componentes? ¿El final de mi prueba de sentido?

Gracias por cualquier ayuda o comentarios!

Answer 1

Su enfoque es correcto y me parece que han venido para arriba con una función real entre los componentes. De hecho, el mapa de $C_{\alpha}\to f(C_{\alpha})$ es un bijection a partir del conjunto de componentes de $X$ para el conjunto de los componentes de la $Y$.

Me gustaría destacar una cosa: estás construyendo un mapa del conjunto de componentes de $X$ para el conjunto de los componentes de $Y$. Por eso, $C_{\alpha}$ es un elemento de la antigua conjunto y $f(C_{\alpha})$ es un elemento del segundo conjunto. El hecho de que $f$ induce un bijection de $C_{\alpha}$ $f(C_{\alpha})$no implica que $f$ induce un bijection desde el conjunto de los componentes de la $X$ para el conjunto de los componentes de la $Y$. Todo lo que significa es que se induce un mapa del conjunto de componentes de $X$ para el conjunto de los componentes de la $Y$ (una vez que se ha demostrado también que la $f(C_{\alpha})$ es un componente de $Y$; ver (1) a continuación). Con el fin de mostrar que este inducida por el mapa a partir del conjunto de componentes de $X$ para el conjunto de los componentes de la $Y$ es un bijection, ver (2) a continuación.

En teoría, usted necesita demostrar dos cosas (que pueden ser obvio para usted que es la razón por la que usted no explícitamente nota en la prueba):

(1) $f(C_{\alpha})$ es un componente de $Y$

Comentario: Usted ha mostrado $f(C_{\alpha})$ está conectado a un subconjunto de a$Y$, pero también necesita mostrar que $f(C_{\alpha})$ es una máxima conectado subconjunto de $Y$. Usted necesidad de utilizar la continuidad de $f^{-1}:Y\to X$ (algo que no utiliza explícitamente en su prueba).

(2) El mapa de $C_{\alpha}\to f(C_{\alpha})$ es un bijection

Comentario: Se puede demostrar que es un bijection explícitamente la construcción de un conjunto teórico inversa; es decir, un mapa del conjunto de componentes de $Y$ para el conjunto de los componentes de la $X$. Puede usted hacer esto?

Además, aquí hay un ejercicio para dar una perspectiva alternativa sobre este problema:

Ejercicio 1: Vamos a $f:X\to Y$ ser un continuo de la función (por tanto, no necesariamente un homeomorphism). Deje $C_{X}$ $C_{Y}$ ser los conjuntos de componentes de $X$$Y$, respectivamente. Demostrar que hay un inducida por el mapa de $f_{*}:C_{X}\to C_{Y}$. En el lenguaje de la categoría de teoría, "el conjunto de componentes conectados" es un functor de la categoría de espacios topológicos a la categoría de conjuntos.

El problema en el que estás pensando puede ser fácilmente resuelto desde la perspectiva de la categoría de la teoría, ya que es una propiedad general de los functors que isomorphisms se asignan a isomorphisms. (En la categoría de espacios topológicos, un "isomorfismo" es sólo una homeomorphism; en la categoría de conjuntos, un "isomorfismo" es sólo un bijection.)

También, el tema de la teoría de la homología o homotopy teoría de la topología algebraica se generaliza este functor; los componentes de la ruta de un espacio constituyen una base para lo que se conoce como el cero de homología grupo de el espacio. Hay mayor homología de grupos que describen "los mayores dimensiones de los agujeros".)

Espero que esto ayude!