Consideremos el espacio de Banach $C[0,1]$ . Encontrar la descomposición del espectro del operador integral indefinido.

Question

Consideremos el espacio de Banach $C[0,1]$ de función continua de valor real sobre $[0,1]$ con la norma del sumo. y el operador lineal $$A: x(t)\mapsto\int\limits_0^tx(s)\,\mathrm{d}s.$$ Encuentra sus valores propios, sus valores regulares y su espectro continuo.

Ya he demostrado que no tiene ningún valor propio pero tengo problemas para encontrar la clasificación de los elementos en $(-1,0)\cup(0,1)$ .

Por el teorema, ya que $\|A\|=1$ , entonces para $|\lambda|>1$ tenemos que $\lambda$ es un valor regular.

Pregunta: ¿Cómo puedo saber si $(Ax-\lambda x)^{-1}$ existe para $\lambda\in(-1,0)\cup(0,1)$ .

Answer 1

Demostraremos que $\sigma(A) = \{0\}$ y que $0$ pertenece al espectro residual. Como ha demostrado, $0$ no es un valor propio, y como $\operatorname{im} A \subseteq \{x \in C[0,1]: x(0) = 0\}$ , $A$ no tiene imagen densa. Por lo tanto, $0 \in \sigma_r(A)$ .

Para ver que $A - \lambda$ es invertible para $\lambda \ne 0$ , dejemos que $y \in C[0,1]$ se le dará. Tenemos que resolver $ Ax - \lambda x = y $ para $x$ o, en su defecto, con $z := Ax$ , $$ z - \lambda z' = y, \quad z(0) = 0 $$ Lo reescribimos como $$ z' - \frac 1\lambda z =- \frac 1\lambda y, \quad z(0) = 0 $$ La variación de las constantes da $$ z(t) =- \exp\frac t\lambda \cdot \frac 1\lambda \int_0^t\exp\left(-\frac s\lambda\right) y(s) \, ds $$ Por lo tanto, $$ x(t) = \frac 1\lambda \bigl(z(t) - y(t)\bigr) =- \frac 1{\lambda^2} \int_0^t \exp\left(\frac{t-s}\lambda\right) y(s)\, ds - \frac 1\lambda y(t) = (A - \lambda)^{-1}y(t) $$ Así que, $A-\lambda$ es invertible para $\lambda \ne 0$ .

Answer 2

He aquí una prueba alternativa del hecho de que $r(T)=0$ ( Lo añado porque parece que no aparece en los posts relacionados y me parece bastante bonito).

Primero demuestre por inducción que $|A^n x(t)|\leq \frac{t^n}{n!}\|x\|_\infty$ para todos $t\in[0,1]$ :

Base $n=0$ : $|x(t)|\leq \|x\|_\infty$ para todos $t\in[0,1]$ por definición de la norma de supremacía.

Paso inductivo: Para todos $t\in[0,1]$ tenemos

$$|A^{n+1}x(t)|=\lvert\int_0^t A^n x(s)\,ds\rvert \leq \int_0^t |A^n x(s)|\,ds\leq\|x\|_\infty\int_0^t \frac{s^n}{n!}\,ds=\frac{t^{n+1}}{(n+1)!}\|x\|_\infty.$$

De ello se desprende que $\|A^n\|=\frac{1}{n!}$ y en consecuencia $r(T)=\lim_{n\to\infty}\|A^n\|^{\frac 1 n}=0$ .