Evaluación de $\int_{1}^{2} \frac{\tan^{-1} x}{\tan^{-1} \frac {1}{x^2-3x+3}} \operatorname dx$

Question

$$\int_{1}^{2} \frac{\tan^{-1} x}{\tan^{-1} \frac {1}{x^2-3x+3}} dx$$

Mi intento:: $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{\tan^{-1} x}{\tan^{-1} \frac {1}{x^2-3x+3}} dx = \int_{1}^{2}\frac{\tan^{-1}x}{\tan^{-1}(x-1)-\tan^{-1}(x-2)}dx$

Ahora ¿Cómo puedo resolver después de eso.

por favor, ayúdenme

Gracias

Answer 1

Tras unas sencillas manipulaciones algebraicas, la integral original se convierte en $$ \mathcal{I}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{5-x^2}{12}\right)}{\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{3+x^2}{12}\right)}\,dx$$ que es bastante sencillo de aproximar numéricamente, por ejemplo a través del Aproximación Shafer-Fink $\arctan(x)\approx\frac{3x}{1+2\sqrt{1+x^2}}$ , lo que lleva a $\mathcal{I}\approx 1.108$ . Por otra parte, una forma cerrada simple parece estar fuera de alcance, ya que no hay simetría evidente y la sustitución $\frac{3+x^2}{12}\mapsto\tan u$ no simplifica la función integrante como cabría esperar.

Answer 2

Obsérvese que la cuadrática $ x^2 -3x +3 $ tiene un discriminante $$b^2-4ac=(-3)^2-4(1)(3)=9-12=-3$$ Por lo tanto, no hay soluciones reales, lo que significa que nunca cruza el $x$ -eje, y como se abre, esto significa que siempre es positivo. Usando esto, y la siguiente fórmula para $\arctan \frac{1}{u}$ $$\arctan \frac{1}{u}=\frac{1}{2}\pi - \arctan u, u>0 $$ Podemos reescribir el denominador de nuestra integral como $$\frac{1}{2}\pi - \arctan (x^2-3x+3)$$ habiendo utilizado $u=x^2-3x+3$ para aplicar la fórmula. Ahora tenemos $$\int_1^2 \frac{\arctan x}{\frac{1}{2} \pi - \arctan (x^2-3x+3)}dx$$ Hasta aquí llegué, y wolfram alpha no encontró una solución de forma cerrada para eso.