La prueba de que hay infinitos números primos $p$ tal que $p-2$ no es primo.

Question

Sólo requieren la verificación de esta prueba por contradicción:

Deje $p_k$ siendo el mayor número primo tal que $p_k-2$ no es un número primo. Deje $p_l$ ser algún número primo tal que $p_l > 3p_k$. Sabemos que $p_l$ existe porque hay infinitos números primos como se ha demostrado en otros lugares.

$p_l-2$ es un número primo. $p_l-4$ es un número primo así. Por inducción, todos los números de $p_k < x < p_l | x \mod 2 = 1 $ son números primos. Pero $p_k<3p_k<p_l$$3p_k \mod 2 = 1$$3|3p_k$, por lo que hay una contradicción.

También me encantaría ver más concisa de las pruebas, si es posible.

Editar:

Grande que tengo tantas personas tratando de ofrecer su propia prueba, pero la pregunta era, principalmente, le preguntó para que yo pudiera tener mi prueba verificada. Sólo skyking dirigió a mi pregunta, aunque yo todavía no entiendo su crítica.

Answer 1

Es muy simple de construir una secuencia infinita:

$$35+60n,37+60n$$

$35+60n$ va a generar una cantidad infinita de compuesto de números, todos los que son divisibles por $5$ (de hecho, va a generar sólo compuesto de números).

$37+60n$ va a generar una cantidad infinita de números primos, ya que $37$ $60$ son coprime enteros (de acuerdo a la del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas).

Answer 2

Puede utilizar el simple hecho de que los números $n$, $n+2$, $n+4$ todos son incongruentes mod $3$, de modo que al menos uno de ellos debe ser un múltiplo de $3$. Por lo tanto el único triple de números de $(n,n+2,n+4)$ consiste de todos los números primos es $(3,5,7)$.

Si $p_k$ indica el $k^{th}$ el primer y el $k$ es el índice más grande para que $p_k - 2$ no es primo, entonces $p_{k+2} - 2 = p_{k+1}$$p_{k+1} - 2 = p_k$. Por lo tanto $(p_k,p_k+2,p_k+4)$, un triple de números primos, lo que implica la $p_k = 3$, lo cual es una contradicción evidente.

Answer 3

Tenga en cuenta que si un prime $p>5$ es de la forma $3n+2$ $p-2$ no es primo.

Existen infinitos números primos de la forma $3n+2$. Esto sigue de inmediato a partir del Teorema de Dirichlet, pero puede ser mostrado directamente (Pf: la lista finita podríamos enumerar todos los ejemplos, $\{p_1, \dots, p_k\}$ pero, a continuación, $P=3*\prod {p_i}-1$ es primo para todo en nuestra lista y está claro que no es el producto de los números primos de la forma $3n+1$.)

Answer 4

Primero de todo, algunas críticas, la prueba parece ser algo demasiado complicado. Pero no veo el error en ella.

No es que claro que $p_l-4$ es un número primo, no con el hecho de que $p_k$ siendo el mayor el primer tales que $p_k-2$ no es un primo al menos.

La declaración, sin embargo sigue con bastante facilidad a partir de dos observaciones:

1. Hay un número infinito de números primos
2. Hay un número infinito de extraño compuesto de números (no primos)

Para cada impar número compuesto $k$ existe un menor prime $p(k)>k$. Ahora, ya que es el más pequeño de tan importante tiene que $p(k)-2$ no es un número primo ($p(k)-2\ge k$, es $k$ y el compuesto, o entre el $k$ $p(k)$ y por lo tanto compuesto).

La primera observación es una consecuencia directa de ese $3(2n+1)$ es compuesto. La segunda es porque, de lo contrario (si hay un número finito de números primos) el producto de todos los números primos más 1 sería otro de los prime.

Answer 5

Considere la posibilidad de múltiplos de $3$, y agregar $2$ en ellos. Por Dirichlet del teorema, hay una infinidad de números primos en $\{ 3n+2\}_n$, y recogida de los mismos, restar $2$ a partir de ellos, nosotros no-primos.