Si $\lim_{x\to 0}f(x)=L$ $\lim_{x\to 0}f(cx)=L$ para cualquier valor distinto de cero constante $c$.

Question

Me preguntaba si esta prueba no es correcta.

Estoy tratando de demostrar que si $\lim_{x\to 0}f(x)=L$ $\lim_{x\to 0}f(cx)=L$ para cualquier valor distinto de cero constante $c$.

Prueba:

Si $\lim_{x \to 0}f(cx)=L$, entonces existe una $\delta$ tal que

$0<|x|<\delta \implies |f(cx)-L|<\epsilon$. Tenemos$ |f(cx)-L|=|f(cx)-L+f(x)-f(x)|$. Aplicando la desigualdad de triángulo da

$|f(cx)-L|=|f(cx)-L+f(x)-f(x)|\leq|f(cx)-f(x)|+|f(x)-L|$. Así que basta para encontrar algo de $\delta$ tal que

$0<|x|<\delta \implies |f(cx)-f(x)|+|f(x)-L|<\epsilon$

Desde $\lim_{x \to 0}f(x)=L$ existe alguna $\delta_{1}$ tal que

$0<|x|<\delta_{1} \implies|f(x)-L|<\epsilon$. Ya que esta debe ser cierto para cualquier $\epsilon>0$, debe ser cierto para algunos $\epsilon>|f(cx)-f(x)|+|f(x)-L|$. Así, hay algunos $\delta_{1}$ tal que

$0<|x|<\delta_{1} \implies |f(x)-L|\leq|f(cx)-f(x)|+|f(x)-L|<\epsilon$.

Dejando $\delta=\delta_{1}$ da la deseada

$0<|x|<\delta \implies |f(cx)-f(x)|+|f(x)-L|<\epsilon$.

Por favor, dime si yo hice algo válido. También soy nuevo en el Cálculo así que por favor explicar de forma tan sencilla como sea posible. Gracias

Answer 1

Esta prueba no es correcta. La clave de error es cuando dices

Ya que esta debe ser cierto para cualquier $\epsilon>0$, debe ser cierto para algunos $\epsilon>|f(cx)-f(x)|+|f(x)-L|$.

Estás tratando de probar que para cada $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $0<|x|<\delta \implies |f(cx)-L|<\epsilon$. Así que no se te permite elegir lo $\epsilon$ desea; $\epsilon$ es dado a usted antes de tiempo. Es cierto que para cualquier particular $x$, existe alguna $\epsilon$ tal que $\epsilon> |f(cx)-f(x)|+|f(x)-L|$. Pero este no es cualquier uso, ya que usted no puede escoger a $\epsilon$. (Por otra parte, la necesidad de esta desigualdad mantenga simultáneamente para cada $x$ tal que $0<|x|<\delta$, y no está claro cómo usted está consiguiendo que.)

Answer 2

Usted comienza con "Si $\lim_{x \to 0}f(cx)=L$", pero que es lo que está tratando de demostrar. Usted debe comenzar con "Si $\lim_{x \to 0}f(x)=L$" y demostrar $\lim_{x \to 0}f(cx)=L.$ me gusta pensar que de $\epsilon-\delta$ pruebas de desafío y respuesta. Si usted afirma que el límite de la expresión, llego al reto con un $\epsilon$ y usted tiene que ser capaz de encontrar una $\delta$ que funciona. Aquí está reclamando $\lim_{x \to 0}f(cx)=L$, por lo que puedo llegar a dar una $\epsilon.$ se basa su reclamo en alguien que afirma que el $\lim_{x \to 0}f(x)=L$, por lo que puedes darles un $\epsilon'$ y ellos tienen que dar un $\delta'$ que apoya su reclamación. El $\epsilon'$ que usted elija debe ser derivado de la $\epsilon$ que me dio. Usted toma su $\delta'$ y se derivan de la $\delta$ lo que me das.