Cada finito dimensionales real nil álgebra admitir un multiplicativo?

Question

Decimos que un número finito de dimensiones reales conmutativa y asociativa de álgebra $\mathcal{A}$ es nula, si cada elemento de a $a \in \mathcal{A}$ es nilpotent.

Por multiplicativo de base, me refiero a una base $\{ v_1, \dots , v_n \}$ $\mathcal{A}$ como un verdadero espacio vectorial tal que para cada a$v_i$$v_j$, el álgebra de multiplicación de $v_i \star v_j = c v_k$ algunos $c \in \mathbb{R}$, y algún otro elemento $v_k$ de la base.

Dado un nil álgebra $\mathcal{A}$, lo hace siempre admite un multiplicativo de base en el sentido descrito arriba? Si no, ¿qué es un ejemplo de un nil álgebra, que no admite una multiplicativo?

Answer 1

No. Las siguientes construcciones de un contraejemplo.

Deje $R$ ser gradual del anillo de $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_5]$$I = (x_1, \ldots, x_5)$. En cualquier homgeneous grado $d$, definir la "pura" de polinomios a ser el de los productos de $d$ lineal de los polinomios, y dejar que el grado de un polinomio homogéneo $f$ ser el número mínimo de condiciones necesarias para expresar $f$ como una suma de puro polinomios.

Afirmo lo siguiente:

• El grado de one piece $R_1$ es isomorfo al espacio vectorial de $1 \times 5$ matrices
• El grado dos pedazo $R_2$ es isomorfo al espacio vectorial de los simétrica $5 \times 5$ matrices
• El producto $R_1 \times R_1 \to R_2$ corresponde a la simétrico exterior del producto $(v,w) \mapsto \frac{1}{2}(v^Tw + w^Tv)$

(reescribirse de manera diferente: $R_1$ es el espacio lineal de las formas, y $R_2$ es el espacio de formas bilineales simétricas)

El rango de una matriz tiene una similar caracterización: $\text{rank}(A)$ es el menor número de términos que usted necesita para expresar $A$ como una suma de exterior, productos de $\sum_i v_i^T w_i$.

De la nota particular es que si un homogénea, cuadrática, polinómica $f$ corresponde a la matriz de $A$,$\text{rank}(A) \leq 2 \text{rank}(f)$.

En consecuencia, existe un homogénea, cuadrática, polinómica $f$ tal que $\text{rank}(f) \geq 3$. Un ejemplo de ello es $f = \sum_i x_i^2$.

Ahora, considere el graduado de álgebra $A = I / (I^3 + fR)$. Su grado 1 pieza es de 5 dimensiones y su grado de la pieza 2 es 14-dimensional.

Supongamos que tenemos una colección de polinomios de $I$ que forma un multiplicativo de base para $A$. La base debe consistir de al menos cinco polinomios que abarcan $I/I^2$. Hay 15 productos de pares de estos polinomios, y todos ellos son elementos distintos de a $I^2 / I^3$.

Supongamos que dos de estos productos fueron los mismos en $A$. Que implicaría tenemos dos clasificar a una polinomios cuadráticos $g$ $h$ con la propiedad de que $rg = sh + tf$ para algunos escalares $r,s,t$. Sin embargo, tendríamos $rt^{-1}g + (-st^{-1})h = f$ lo cual es imposible, ya que el lado izquierdo tiene rango en la mayoría de los 2, pero el lado derecho tiene rango 3.

En consecuencia, el 15 pares de los productos de la multiplicación de la base por $A$ son todas distintas (y distinto de cero) elementos de la $A$, y son distintos de los originales de $5$ polinomios así. En consecuencia, la base debe tener al menos 20 elementos, contradiciendo el hecho de que $A$ 19-dimensional.